大学受験数学 全国模試 第002回
この回のテストポイント
- 第1問：集合の包含関係と必要十分条件（集合と命題）
- 第2問：角の二等分線と辺の比（図形の性質）
- 第3問：一次変換による平均と分散の変化（データの分析）
- 第4問：置換による指数方程式（指数関数）
- 第5問：空間の内積と直線上の垂足（空間ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回
問題
第1問 集合と命題（20点）
全体集合を \(U=\{1,2,\ldots,8\}\) とし、\(A=\{x\in U\mid x\leq5\}\)、\(B=\{x\in U\mid 2\leq x\leq3\}\) とする。
- 集合 \(A\cap\overline{B}\) の要素の個数を求めなさい。（10点）
- 条件「\(x\in A\)」は条件「\(x\in B\)」の必要条件・十分条件・必要十分条件・いずれでもない、のどれか答えなさい。（10点）
第2問 図形の性質（20点）
三角形 \(ABC\) で \(AB=4\)、\(AC=6\)、\(BC=8\) とする。\(\angle A\) の内角の二等分線と \(BC\) の交点を \(D\) とする。
- \(BD\) と \(DC\) を求めなさい。（10点）
- 三角形 \(ABD\) と三角形 \(ACD\) の面積の比を求めなさい。（10点）
第3問 データの分析（20点）
あるデータ \(x\) の平均は \(2\)、分散は4である。すべての値を \(y=3x+2\) に変換する。
- \(y\) の平均を求めなさい。（10点）
- \(y\) の分散と標準偏差を求めなさい。（10点）
第4問 指数関数（20点）
\(4^x-(4+2)2^x+8=0\) を考える。
- \(t=2^x\) とおいて、\(t\) の値をすべて求めなさい。（10点）
- \(x\) の値をすべて求めなさい。（10点）
第5問 空間ベクトル（20点）
空間で \(O=(0,0,0)\)、\(A=(1,2,2)\)、\(P=(2,0,0)\) とする。点 \(P\) から直線 \(OA\) への垂足を \(H\) とする。
- \(H=t(1,2,2)\) とおき、\(t\) を求めなさい。（10点）
- 距離 \(PH\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 集合の包含関係と必要十分条件
\(B\subset A\) で、\(B\) の要素は2個。\(A\cap\overline B\) は \(A\) からこの2個を除いた集合である。\(x\in B\Rightarrow x\in A\) は成り立つが、例えば \(x=1\) では逆が成り立たない。
- 答え
\[ \boxed{3} \] - 答え
\[ \boxed{\text{必要条件}} \]
第2問 角の二等分線と辺の比
角の二等分線の定理より \(BD:DC=AB:AC=2:3\)。辺全体を5等分して配分する。2つの三角形は直線 \(BC\) に対する高さが共通なので、面積比も底辺の比に一致する。
- 答え
\[ \boxed{BD=\frac{16}{5},\ DC=\frac{24}{5}} \] - 答え
\[ \boxed{2:3} \]
第3問 一次変換による平均と分散の変化
平均は同じ一次変換を受ける。平均との差は \(y-\bar y=3(x-\bar x)\) となるため、分散は倍率の2乗で9倍になる。平行移動の2は分散に影響しない。標準偏差は分散の正の平方根。
- 答え
\[ \boxed{8} \] - 答え
\[ \boxed{V(y)=36,\ \text{標準偏差}=6} \]
第4問 置換による指数方程式
\(t>0\) に注意し、\(t^2-(4+2)t+8=(t-2)(t-4)\) と因数分解する。2つの根はいずれも正。\(2^x=2\) または \(2^x=2^2\) に戻す。
- 答え
\[ \boxed{t=2,\ 4} \] - 答え
\[ \boxed{x=1,\ 2} \]
第5問 空間の内積と直線上の垂足
より \(2-9t=0\)。垂直な分解から \(PH^2=OP^2-OH^2=4-4/9\)。
- 答え
\[ \boxed{t=\frac{2}{9}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{4\sqrt2}{3}} \]