大学受験数学 全国模試 第001回
この回のテストポイント
- 第1問：絶対値の範囲と共通部分（数と式）
- 第2問：余弦定理から角と面積を決定（三角比）
- 第3問：二項分布の確率と期待値（確率分布）
- 第4問：負の判別式と共役な解（複素数と方程式）
- 第5問：内分ベクトルと面積比（ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
問題
第1問 数と式（20点）
実数 \(x\) について、\(|x-2|\leq3\) を考える。
- この不等式の解を求めなさい。（10点）
- さらに \(x>3\) を満たす整数 \(x\) をすべて求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
三角形 \(ABC\) で \(AB=AC=2\)、\(BC=2\sqrt{3}\) とする。
- \(\angle A\) を求めなさい。（10点）
- 三角形の面積を求めなさい。（10点）
第3問 確率分布（20点）
成功確率 \(1/2\) の独立な試行を \(4\) 回行う。成功回数を \(X\) とする。
- \(X=1\) となる確率を求めなさい。（10点）
- \(X\) の期待値と分散を求めなさい。（10点）
第4問 複素数と方程式（20点）
\\(x^2-4x+8=0\\) を複素数の範囲で解く。虚数単位を \(i\) とする。
- 2つの解を求めなさい。（10点）
- その2解を \(\alpha,\beta\) として、\(\alpha\beta\) と \\(\alpha^2+\beta^2\\) を求めなさい。（10点）
第5問 ベクトル（20点）
三角形 \(OAB\) で \(\overrightarrow{OA}=\vec a\)、\(\overrightarrow{OB}=\vec b\)。\(AB\) を \(AP:PB=1:2\) に内分する点を \(P\) とする。
- \(\overrightarrow{OP}\) を \(\vec a,\vec b\) で表しなさい。（10点）
- 三角形 \(OAP\) の面積は三角形 \(OAB\) の面積の何倍か求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 絶対値の範囲と共通部分
絶対値は数直線上の距離なので、\(-3\leq x-2\leq3\)。第2小問ではこの区間と \(x>3\) の共通部分をとる。端点の等号の有無に注意する。
- 答え
\[ \boxed{-1\leq x\leq5} \] - 答え
\[ \boxed{x=4,\ 5} \]
第2問 余弦定理から角と面積を決定
余弦定理で \(12=4+4-8\cos A\) より \(\cos A=-1/2\)。三角形の内角なので \(A=120^\circ\)。面積は \(\frac12 AB\cdot AC\sin A\) で求める。
- 答え
\[ \boxed{120^\circ} \] - 答え
\[ \boxed{\sqrt{3}} \]
第3問 二項分布の確率と期待値
成功する1回の位置が \(4\) 通りあり、各並びの確率は \((1/2)^{4}\)。二項分布 \(B(n,p)\) の期待値は \(np\)、分散は \(np(1-p)\) を使う。
- 答え
\[ \boxed{\frac{1}{4}} \] - 答え
\[ \boxed{E(X)=2,\ V(X)=1} \]
第4問 負の判別式と共役な解
平方完成すると \((x-2)^2=-4\) なので、解は共役な複素数 \(2\pm2i\)。和は \(4\)、積は \(8\)。平方の和は和の2乗から積の2倍を引いて求める。
- 答え
\[ \boxed{x=2\pm2i} \] - 答え
\[ \boxed{\alpha\beta=8,\ \alpha^2+\beta^2=0} \]
第5問 内分ベクトルと面積比
内分公式で \(\overrightarrow{OP}=(2\vec a+\vec b)/3\)。係数は向かい側の比になる。2つの三角形は \(O\) から直線 \(AB\) への高さが共通なので、面積比は \(AP/AB=1/3\)。
- 答え
\[ \boxed{\frac{2\vec a+\vec b}{3}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{1}{3}} \]