自治医科大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第081回
この回のテストポイント
- 第1問：逆数で線形化し差を足す
- 第2問：三角関数の積分漸化式
- 第3問：二次方程式の解の符号
- 第4問：余弦定理・面積・正弦定理
- 第5問：複素数の回転と正三角形
- 第6問：委員選出と余事象の数え上げ
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 逆数で線形化し差を足す（17点）
で数列を定める。
（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（7点）
第2問 三角関数の積分漸化式（17点）
とする。\(n\) は0以上の整数である。
（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）
（2）\(I_{20}\) を求めなさい。（5点）
（3）\(I_{21}\) を求めなさい。（7点）
第3問 二次方程式の解の符号（17点）
実数tに対し \\(x^2-2tx+100=0\\) を考える。
（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）
（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）
（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（7点）
第4問 余弦定理・面積・正弦定理（17点）
三角形ABCでAB=10、AC=20、角A=60°とする。
（1）BCを求めなさい。（5点）
（2）三角形の面積を求めなさい。（5点）
（3）外接円の半径を求めなさい。（7点）
第5問 複素数の回転と正三角形（16点）
複素数平面で \(A=10,B=10i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。
（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（4点）
（2）正三角形の面積を求めなさい。（4点）
（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（8点）
第6問 委員選出と余事象の数え上げ（16点）
男子10人、女子10人から、区別のない委員3人を選ぶ。
（1）すべての選び方の数を求めなさい。（4点）
（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（4点）
（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 逆数で線形化し差を足す
（1）
初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
漸化式から
。和をとると中間の項が消える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 三角関数の積分漸化式
（1）
\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(10\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(I_1=1\) から漸化式を \(10\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 二次方程式の解の符号
（1）
判別式は \(4(t^2-100)\)。0以上となる範囲を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
解の積は \(100\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 余弦定理・面積・正弦定理
（1）
余弦定理で \(BC^2=100+400-400\cos60^\circ\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 複素数の回転と正三角形
（1）
。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(|B-A|=10\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 委員選出と余事象の数え上げ
（1）
全員から3人を選ぶ組合せを用いる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。