数学C｜ベクトル ドリル第42回（総合復習）
注意事項
各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。
問題
問題1｜直線と平面の交点
直線(x,y,z)=(t,5t,1t)と平面x+y+z=7の交点を求めなさい。
問題2｜大きさと単位ベクトル
u=(6,8)の大きさと同じ向きの単位ベクトルを求めなさい。
問題3｜垂直条件
0でないu=(8,3)、v=(3,k)が垂直となるkを求めなさい。
問題4｜位置ベクトルと内分
A=(8,0)、B=(0,3)を1:2に内分するPの位置ベクトルを求めなさい。
問題5｜図形の内部条件
三角形OABでA=(6,0)、B=(0,1)、P=sA+tBです。Pが三角形の内部または辺上にあるs,tの条件を求めなさい。
解答・解説
解答1｜直線と平面の交点
直線の座標を平面に代入すると(1+a+b)t=c(1+a+b)。係数が正なのでt=cが唯一の解です。
\[
\boxed{(1,5,1)}
\]
解答2｜大きさと単位ベクトル
大きさは成分の平方和の平方根。uをその大きさで割ると長さ1になります。
\[
\boxed{|u|=10,\quad(\frac35,\frac45)}
\]
解答3｜垂直条件
内積ab+bk=0を解きます。b>0なので割ることができます。
\[
\boxed{k=-8}
\]
解答4｜位置ベクトルと内分
AP:PB=1:2ならP=(2A+B)/3。内分比と係数は逆の対応になります。
\[
\boxed{P=(\frac{16}{3},1)}
\]
解答5｜図形の内部条件
O,A,Bの係数を1−s−t,s,tとすれば、いずれも0以上という条件です。境界も含みます。
\[
\boxed{s\ge0,\quad t\ge0,\quad s+t\le1}
\]
復習記録
得点：____ / 50点 解き直す問題：____ 次回までに確認する公式・条件：____