数学C｜ベクトルドリル第38回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

三角形OABでA=(4,0)、B=(0,1)、P=sA+tBです。Pが三角形の内部または辺上にあるs,tの条件を求めなさい。

点A=(5,2,1)を通り方向ベクトル(1,2,−1)をもつ直線を媒介変数tで表しなさい。

O=(0,0)、A=(5,0)、B=(2,1)の三角形の面積を求めなさい。

直線(x,y,z)=(t,4t,1t)と平面x+y+z=6の交点を求めなさい。

u=(24,32)の大きさと同じ向きの単位ベクトルを求めなさい。

解答・解説

O,A,Bの係数を1−s−t,s,tとすれば、いずれも0以上という条件です。境界も含みます。

\boxed{s\ge0,\quad t\ge0,\quad s+t\le1}

基準点の位置ベクトルに、方向ベクトルの実数倍を加えます。

\boxed{(x,y,z)=(5+t,2+2t,1-t)\quad(t\in\mathbb R)}

OAを底辺とすると長さa、Bからx軸までの高さc。面積はac/2です。

\boxed{\frac{5}{2}}

直線の座標を平面に代入すると(1+a+b)t=c(1+a+b)。係数が正なのでt=cが唯一の解です。

\boxed{(1,4,1)}

大きさは成分の平方和の平方根。uをその大きさで割ると長さ1になります。

\boxed{|u|=40,\quad(\frac35,\frac45)}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____