数学C｜平面上の曲線と複素数平面ドリル第40回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

\(x=5\cos t,\ y=3\sin t\)（0≤t<2π）の媒介変数を消去し、曲線全体を表すか述べなさい。

極座標(r,θ)=(12,π/6)の直交座標を求めなさい。

z=6+6iの絶対値と偏角の主値（−π<arg z≤π）を求めなさい。

z=5+2iを点α=1の周りに反時計回りに90°回転した点wを求めなさい。

\(z^3=125\)の解をすべて極形式で表しなさい。

解答・解説

x/a=cos t、y/b=sin tを平方して足します。1周期を動くので楕円全体を表します。

\boxed{\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\quad\text{全体を表す}}

x=r cosθ、y=r sinθを使います。

\boxed{(6\sqrt3,6)}

第1象限で実部と虚部が等しいので偏角はπ/4。大きさは平方和の平方根です。

\boxed{|z|=6\sqrt2,\quad\arg z=\frac\pi4}

中心を原点に移すz−αを回転してから、αを戻すのでw=α+i(z−α)です。

\boxed{w=-1+4i}

絶対値はa、偏角は2kπ/(b+2)。異なる解がb+2個あり、円に内接する正多角形の頂点になります。

\boxed{z=5(\cos\frac{2k\pi}{3}+i\sin\frac{2k\pi}{3})\quad(k=0,\ldots,2)}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____