数学C｜平面上の曲線と複素数平面ドリル第38回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

z=5+5iの絶対値と偏角の主値（−π<arg z≤π）を求めなさい。

z=4+2iを点α=1の周りに反時計回りに90°回転した点wを求めなさい。

\(z^3=64\)の解をすべて極形式で表しなさい。

点0、z=4+2i、w=−2+4iについて、OZとOWが垂直であることを複素数の商から示しなさい。

楕円\\(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{9}=1\\)の長軸の長さと焦点を求めなさい。

解答・解説

第1象限で実部と虚部が等しいので偏角はπ/4。大きさは平方和の平方根です。

\boxed{|z|=5\sqrt2,\quad\arg z=\frac\pi4}

中心を原点に移すz−αを回転してから、αを戻すのでw=α+i(z−α)です。

\boxed{w=-1+3i}

絶対値はa、偏角は2kπ/(b+2)。異なる解がb+2個あり、円に内接する正多角形の頂点になります。

\boxed{z=4(\cos\frac{2k\pi}{3}+i\sin\frac{2k\pi}{3})\quad(k=0,\ldots,2)}

w=izなのでw/z=i。商の偏角がπ/2で、0でない2ベクトルのなす角が90°です。

\boxed{\frac wz=i\quad\text{より垂直}}

x方向の半径が大きいので長軸はx軸方向。焦点距離は平方の差の平方根です。

\boxed{\text{長軸の長さ}16,\quad(\pm\sqrt{55},0)}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____