数学C｜平面上の曲線と複素数平面 ドリル第23回（定着練習）
注意事項
各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。
問題
問題1｜原点中心の回転
z=6+1iを原点の周りに反時計回りに90°回転した点wを求めなさい。
問題2｜別の点を中心とする回転
z=6+1iを点α=1の周りに反時計回りに90°回転した点wを求めなさい。
問題3｜ド・モアブルの定理
\(z=6(\cos\frac\pi{3}+i\sin\frac\pi{3})\)の3乗を求めなさい。
問題4｜複素数平面の軌跡
\(|z-(6+1i)|=1\)が表す図形を説明しなさい。
問題5｜複素数による垂直条件
点0、z=6+1i、w=−1+6iについて、OZとOWが垂直であることを複素数の商から示しなさい。
解答・解説
解答1｜原点中心の回転
反時計回り90°はiを掛けます。i(a+bi)=−b+aiです。
\[
\boxed{w=-1+6i}
\]
解答2｜別の点を中心とする回転
中心を原点に移すz−αを回転してから、αを戻すのでw=α+i(z−α)です。
\[
\boxed{w=5i}
\]
解答3｜ド・モアブルの定理
絶対値は(b+2)乗、偏角は(b+2)倍。偏角πとなるため実数−a^(b+2)です。
\[
\boxed{-216}
\]
解答4｜複素数平面の軌跡
複素数の差の絶対値は2点間の距離です。中心からの距離が一定の点を表します。
\[
\boxed{\text{中心}(6,1)\text{、半径}1\text{の円}}
\]
解答5｜複素数による垂直条件
w=izなのでw/z=i。商の偏角がπ/2で、0でない2ベクトルのなす角が90°です。
\[
\boxed{\frac wz=i\quad\text{より垂直}}
\]
復習記録
得点：____ / 50点 解き直す問題：____ 次回までに確認する公式・条件：____