数学C｜平面上の曲線と複素数平面ドリル第24回（定着練習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

放物線\\(y^2=32x\\)の焦点と準線を求めなさい。

楕円\\(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{4}=1\\)の長軸の長さと焦点を求めなさい。

双曲線\\(\frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{4}=1\\)の焦点と漸近線を求めなさい。

\(x=7\cos t,\ y=2\sin t\)（0≤t<2π）の媒介変数を消去し、曲線全体を表すか述べなさい。

x=t²、y=7t（t≥0）の媒介変数を消去し、範囲も示しなさい。

解答・解説

標準形y²=4pxでp=a。焦点(p,0)、準線x=−pです。

\boxed{(8,0),\quad x=-8}

x方向の半径が大きいので長軸はx軸方向。焦点距離は平方の差の平方根です。

\boxed{\text{長軸の長さ}18,\quad(\pm\sqrt{77},0)}

焦点は半軸の平方の和の平方根。漸近線はy=±(b/a)xです。楕円との符号の違いに注意します。

\boxed{(\pm\sqrt{53},0),\quad y=\pm \frac{2}{7}x}

x/a=cos t、y/b=sin tを平方して足します。1周期を動くので楕円全体を表します。

\boxed{\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{4}=1\quad\text{全体を表す}}

t=y/aを代入します。t≥0の条件がy≥0となり、放物線の上半分だけを表します。

\boxed{y^2=49x,\quad y\ge0}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____