慶應義塾志木高等学校対策 数学模擬試験 第048回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
相似・接線・立体の切断と、整数方程式・数え上げの記述演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 定義された整数部分・不等式の境界（20点）
実数tに対し、t以下の最大の整数を[t]と書きます。[x]=67とします。
（1）xの範囲を不等式で表しなさい。（4点）
（2）[4x]のとり得る値をすべて求めなさい。（6点）
（3）[4x]=271となるxの範囲を求めなさい。（10点）
第2問 動点・折れ曲がる面積関数（20点）
長方形ABCDはAB=134cm、BC=8cmです。PはAからBを経てCまで毎秒1cmで動きます。出発t秒後の三角形APDの面積をS cm²とします。
（1）Sをtの式で、範囲を添えて表しなさい。（4点）
（2）S=268となる時刻をすべて求めなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、それをとるすべての時刻を求めなさい。（10点）
第3問 直角三角形・斜辺上の点への距離（20点）
三角形ABCは∠A=90°、AB=201cm、AC=268cmです。AからBCに下ろした垂線の足をH、BC上でBP:PC=4:1となる点をPとします。
（1）BCとAHの長さを求めなさい。（4点）
（2）BHの長さを求め、用いた相似を示しなさい。（6点）
（3）AP²の値を求めなさい。（10点）
第4問 回転体・円すいの差と相似（20点）
直角台形ABCDをA(0,0)、B(8,0)、C(4,67)、D(0,67)とします。直線ADの周りに1回転します。
（1）BCを延長した直線とADの交点のy座標を求めなさい。（4点）
（2）回転体の体積を求めなさい。（6点）
（3）上下の底面を含む表面積を求めなさい。（10点）
第5問 整数方程式・積への変形（20点）
整数x,yはx>67、y>67を満たし、\(xy=67(x+y)+(-4473)\)が成立します。
（1）(x−67)(y−67)の値を求めなさい。（4点）
（2）組(x,y)をすべて求めなさい。順序の異なる組は別とします。（6点）
（3）x+yの最小値と、そのときの組を求め、最小であることを示しなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
定義から67≦x<68です。
答え：\(\boxed{67\leq x<68}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
4倍すると268≦4x<272。この区間の各整数部分が実現します。
答え：\(\boxed{268,269,270,271}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
271≦4x<272を4で割ります。上端は含みません。
答え：\(\boxed{\frac{271}{4}\leq x<68}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
AB上では底辺AP=t、高さAD=8よりS=4t。BC上では底辺AD=8、高さがAB=134で一定なのでS=536です。
答え：\(\boxed{S=4t\ (0\leq t\leq134),\ S=536\ (134\leq t\leq142)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
AB上の4t=268よりt=67。BC上の値は268より大きく、解はありません。
答え：\(\boxed{67}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
AB上で増加し、B以後は一定です。したがって134秒から142秒まで全時刻で最大です。
答え：\(\boxed{536,\ 134\leq t\leq142}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
三平方でBC=335。面積をAB×AC/2=BC×AH/2と表すとAH=\frac{804}{5}です。
答え：\(\boxed{BC=335,\ AH=\frac{804}{5}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABHと△CBAは直角と∠Bが等しいので相似。AB/BC=BH/AB、すなわちBH=AB²/BC=\frac{603}{5}です。
答え：\(\boxed{\frac{603}{5}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
BP=268。HP=|BP−BH|。三平方でAP²=AH²+(BP−BH)²を計算します。
答え：\(\boxed{\frac{237917}{5}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
半径が8から4へ、高さ67で半減するので、さらに67進むと0になります。交点は(0,134)です。
答え：\(\boxed{134}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
半径8・高さ134の円すいから、半径4・高さ67の円すいを除きます。π((8)²×134−16×67)/3です。
答え：\(\boxed{\frac{7504}{3}\pi}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
母線BC=√(4489+16)。円すいの側面積の差はπ(8×2BC−4×BC)=12πBC。上下の円の面積を足します。
答え：\(\boxed{12\pi\sqrt{4505}+80\pi}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
両辺に4489を加えて積にすると(x−67)(y−67)=16です。
答え：\(\boxed{16}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
x−67は16の正の約数[1, 2, 4, 8, 16]です。各約数dについてy−67=16/dとすれば、すべての解になります。
答え：\(\boxed{(68,83),\ (69,75),\ (71,71),\ (75,69),\ (83,68)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a=x−67、b=y−67とするとab=16。\((a+b)^2=(a-b)^2+64\geq64\)よりa+b≧8。等号はa=b=4で実現します。
答え：\(\boxed{142,\ (x,y)=(71,71)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。