慶應義塾志木高等学校対策 数学模擬試験 第047回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
相似・接線・立体の切断と、整数方程式・数え上げの記述演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 整数条件・積の最大値の証明（20点）
正の整数x,yがx+y=137を満たします。
（1）xyをxの式で表しなさい。（4点）
（2）xyの最大値と、それを与える組(x,y)をすべて求めなさい。（6点）
（3）最大値が4692以下であることを、(x−y)²を使って証明しなさい。（10点）
第2問 直線と放物線・座標と面積比（20点）
直線Lは\(y=(-64)x+201\)です。放物線y=x²との交点をx座標の小さい順にA,B、Lとy軸の交点をC、原点をOとします。
（1）A,Bの座標を求めなさい。（4点）
（2）三角形OACとOBCの面積比を求めなさい。（6点）
（3）Pは線分AB上でAP:PB=3:67を満たします。Pの座標を求めなさい。（10点）
第3問 折り返し・垂直二等分線と面積（20点）
長方形ABCDをA(0,0)、B(134,0)、C(134,6)、D(0,6)と置きます。AがCに重なるように折ると、折り目はABとP、CDとQで交わります。
（1）Pのx座標を求めなさい。（4点）
（2）Qのx座標を求めなさい。（6点）
（3）四角形APQDの面積を求めなさい。（10点）
第4問 立方体の平面切断・正六角形（20点）
1辺6cmの立方体を0≦x,y,z≦6と表します。平面x+y+z=9で切断します。さらにこの立方体と相似で、辺が67倍の立方体も同じ位置の比で切断します。
（1）元の切断面の頂点を6個すべて挙げなさい。（4点）
（2）元の切断面の周の長さを求めなさい。（6点）
（3）辺が67倍の立方体の切断面の面積を求めなさい。（10点）
第5問 並べ方・隣接条件の余事象（20点）
A,Bを含む70人が無作為に横1列に並びます。すべての並び方は同様に確からしいとします。
（1）A,Bの位置を順序なしで選ぶ方法は何通りありますか。（4点）
（2）A,Bが隣り合う確率を求めなさい。（6点）
（3）A,Bが隣り合わないと分かったとき、間にちょうど3人いる確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
y=137−xよりxy=x(137−x)です。
答え：\\(\boxed{-x^2+137x}\\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
\(xy=\frac{137^2-(2x-137)^2}{4}\)。整数xでは2x−137の絶対値が最小になる中央の整数を選びます。
答え：\(\boxed{4692,\ (x,y)=(68,69),(69,68)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
\(4xy=137^2-(x-y)^2\)。x−yは奇数なのでその2乗は1以上です。よってxy≦4692。差が±1で等号です。
答え：\\(\boxed{xy\leq 4692}\\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
x²−(-64)x−201=(x+67)(x−3)なのでx=−67,3です。
答え：\(\boxed{A=(-67,4489),\ B=(3,9)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺OCに対する高さは67と3です。
答え：\(\boxed{67:3}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
PはAから全体の3/70だけ進むので、x=−67+3。直線の式へ代入し、y=(-64)²+201です。
答え：\(\boxed{(-64,4297)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
PA=PCよりx²=(134−x)²+36。整理して2×134x=17992です。横の長さが縦より大きいので0<x<134を満たします。
答え：\(\boxed{\frac{4498}{67}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
QA=QCよりx²+36=(134−x)²。よってx=(17956−36)/(2×134)です。これも辺CD上です。
答え：\(\boxed{\frac{4480}{67}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
APとDQが平行な台形です。両底辺の和は134、高さは6なので面積は134×6/2です。
答え：\(\boxed{402}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
1座標を0、別の座標を6とすると残りは3。(6,3,0)の6通りの並べ替えです。
答え：\(\boxed{(6,3,0),(6,0,3),(3,6,0),(0,6,3),(3,0,6),(0,3,6)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
隣り合う点の距離は√(9+9)=3√2。切断面は中心からの距離も等しい正六角形なので周は6倍です。
答え：\(\boxed{18\sqrt{2}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
辺長3√2の正六角形を6枚の正三角形に分けます。高さは三平方で辺の√3/2倍なので面積は39√3。相似比67の面積比は4489です。
答え：\(\boxed{121203\sqrt{3}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
70個から2個の位置を選ぶので70×69/2=2415通りです。
答え：\(\boxed{2415}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
位置の組ごとに残りの人の並び方とA,Bの順序は同じ数なので、位置の組は等確率。隣接する組は69通りです。
答え：\(\boxed{\frac{1}{35}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
隣接しない位置の組は2346通り。間に3人なら位置の差が4で、66通りです。
答え：\(\boxed{\frac{11}{391}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。