開成高等学校対策 数学模擬試験 第010回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
平面・立体の根拠を説明し、代数と関数の条件を整理する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 絶対値・解の個数による場合分け（20点）
方程式\(|x-9|+|x-15|=k\)を考えます。kは実数です。
（1）左辺をx<9、9≦x≦15、x>15に分けて表しなさい。（4点）
（2）k=6のときの解をすべて求めなさい。（6点）
（3）kの値に応じて解をすべて求めなさい。（10点）
第2問 放物線と弦・三角形の面積最大（20点）
放物線y=x²上にA(−9,81)、B(6,36)があります。P(t,t²)は−9≦t≦6を動きます。
（1）直線ABの式を求めなさい。（4点）
（2）三角形ABPの面積Sをtの式で表しなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、そのときのtを求め、最大である理由を示しなさい。（10点）
第3問 2本の線分の交点・面積比の証明（20点）
三角形ABCの面積は54cm²です。DはBCの中点、EはCA上の点でCE:EA=6:1です。ADとBEの交点をXとします。
（1）AX:XDを求め、面積比を使って説明しなさい。（4点）
（2）三角形ABXの面積を求めなさい。（6点）
（3）三角形CDXの面積を求めなさい。（10点）
第4問 円すいと内接円柱・体積の比較（20点）
底面半径6cm、高さ9cmの円すいがあります。底面を共通の平面に置き、中心軸を一致させた高さhの円柱を内接させます。0<h<9とします。
（1）円柱の半径rをhの式で表しなさい。（4点）
（2）h=\(3\)のときの円柱の体積を求めなさい。（6点）
（3）h=\(6\)のときと(2)の体積を比較し、比を求めなさい。（10点）
第5問 2回の抽出・順序と条件付き数え上げ（20点）
1から15までの整数を1枚ずつ書いた15枚のカードがあります。1枚を引き、戻して混ぜてからもう1枚引きます。1回目をa、2回目をbとします。
（1）a+b=25である確率を求めなさい。（4点）
（2）abが偶数である確率を求めなさい。（6点）
（3）a≠bであると分かったとき、a+b=25である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
各絶対値の中身の符号から、順に24−2x、6、2x−24です。
答え：\(\boxed{24-2x,\ 6,\ 2x-24}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
中央の区間では左辺が常に6。外側ではそれより大きいので、中央の全点が解です。
答え：\(\boxed{9\leq x\leq15}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
k<6は解なし。k=6は中央全体。k>6は外側の一次方程式を解き、各区間の条件を満たす2解を得ます。
答え：\(\boxed{k<6:\text{解なし};\ k=6:9\leq x\leq15;\ k>6:x=\frac{24-k}{2},\frac{24+k}{2}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
傾きは(36−81)/(15)=-3。Aを代入すると切片は54です。
答え：\(\boxed{y=(-3)x+54}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
Pと同じx座標の弦上の点をQとするとPQ=(-3)t+54−t²=(t+9)(6−t)。面積は左右に分けてPQ×(15)/2です。
答え：\(\boxed{S=\frac{15}2(t+9)(6-t)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(t+9)(6−t)=\(\frac{225}4-(t+\frac{3}{2})^2\)。2乗の項が0で最大になり、そのtは指定区間内です。
答え：\(\boxed{S_{\max}=\frac{3375}{8},\ t=-\frac{3}{2}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
BD=DCなので[ABX]=[ACX]。共通の底辺EXを持つ△AEXと△CEXの面積比はAE:EC=1:6です。△ABXをuとすれば、△AEX=u/(7)、△CEX=6u/(7)。また△BCX=2[BDX]。△ABXと△BCXはBEを底辺とする高さの比AE:EC=1:6なので[BCX]=6u、[BDX]=6u/2。共通の頂点BからADへの高さによりAX:XD=u:(6u/2)=2:6です。
答え：\(\boxed{2:6}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABDの面積は54/2。ADを2:6に分けるので[ABX]=(54/2)×2/(8)です。
答え：\(\boxed{\frac{27}{4}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
[CDX]=[BDX]=[ABD]−[ABX]です。
答え：\(\boxed{\frac{81}{4}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
断面の相似よりr/6=(9−h)/9です。
答え：\(\boxed{r=6\left(1-\frac{h}{9}\right)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
r=4、h=3をπr²hへ代入します。
答え：\(\boxed{48\pi}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
hが2倍になるとrは2となり半分。したがって体積は2×(1/2)²=1/2倍です。
答え：\(\boxed{2:1}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
(a,b)は順序のある225組。指定された和に対してaが10から15のときだけbも範囲に入り、6組です。
答え：\(\boxed{\frac{2}{75}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
積が奇数なのは両方奇数の場合だけ。奇数は8枚なので、全体から64組を除きます。
答え：\(\boxed{\frac{161}{225}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a≠bの組は210組。和が指定値で同じ数になる組を(1)から除くと6組残ります。
答え：\(\boxed{\frac{1}{35}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。