高校2・3年生の全学年復習｜数学Ⅲ 教材

要約

分数関数・無理関数・逆関数・極限・微分法・積分法とその応用を、基本事項と例題で復習します。高校1〜3年の学習内容を科目別に整理したシリーズです。

分数関数は分母が0になる値を除き、無理関数では平方根の中を0以上にします。逆関数は入力と出力を入れ替えた関数です。逆関数が1つに定まるよう、必要なら元の定義域を制限します。

例題：y=√(x−1)の定義域はx≧1、値域はy≧0です。xとyを交換してx=√(y−1)を解くと逆関数はy=x²+1、定義域はx≧0です。

数列の極限では最高次数で割る、関数の0/0の形では因数分解や有理化で整理する、という方法をまず試します。分母が0に近づくという理由だけで極限を決めてはいけません。

\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n+3}=2,\qquad \lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2

基本極限lim(x→0) sin x/x=1は弧度法で使います。左から近づく極限と右から近づく極限が一致しない場合、両側極限は存在しません。

|r|<1のとき、無限等比級数の和は次の式です。

a+ar+ar^2+\cdots=\frac{a}{1-r}

例題：1+1/2+1/4+…=2です。一般項が0に近づくことは級数の収束の必要条件ですが、十分条件ではありません。連続とは、点での極限と関数値が一致することです。

ここでlog xは自然対数を表します。関数の定義域を確認し、積・商・合成関数の微分を使い分けます。

(e^x)'=e^x,\quad(\log x)'=\frac1x\ (x>0),\quad(\sin x)'=\cos x,\quad(\cos x)'=-\sin x

(fg)'=f'g+fg',\qquad \left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2},\qquad \{f(g(x))\}'=f'(g(x))g'(x)

例題：y=e²ˣの微分は2e²ˣです。外側だけでなく内側の2xも微分します。y=x log xならy'=log x+1です。

導関数の符号は増減、第2次導関数の符号はグラフの凹凸を調べる材料です。f''=0の点でも凹凸が変化しなければ変曲点とはいえません。

置換積分では新しい変数と微小量の対応をそろえ、定積分なら積分区間も変換します。

\int_0^1 2xe^{x^2}\,dx=\int_0^1e^u\,du=e-1\quad(u=x^2)

部分積分は積の微分を逆に使います。

\int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx

例題：∫x eˣdx=x eˣ−∫eˣdx=(x−1)eˣ+Cです。結果を微分してx eˣに戻るか確かめます。∫1/x dx=log|x|+Cでは絶対値を落とさないようにします。

面積では上下関係、体積では回転軸と断面の形を確認します。y=f(x)≧0とx軸で挟まれた領域をx軸の周りに回すと、断面の半径はf(x)です。

V=\pi\int_a^b\{f(x)\}^2\,dx

例題：0≦x≦1のy=√xとx軸で挟まれた領域を回転すると、V=π∫₀¹x dx=π/2です。半径を2乗してから積分します。

例題を隠して解き、理由や途中式も書きましょう。

\(\lim_{x\to3}\(x^2-9\)/(x-3)\)を求めなさい。

\(y=e^{3x}\)を微分しなさい。

\(\int_0^1 2x/\(x^2+1\)\,dx\)を求めなさい。

答え：6

x≠3でx+3に約分して極限を取ります。

答え：\(y'=3e^{3x}\)

内側3xの導関数3を掛けます。

答え：\(\log2\)

u=x²+1と置くと区間は1から2。∫₁²du/u=log2です。

数学Ⅲでは、極限の変形、合成関数の微分、増減、置換積分、部分積分、面積と体積を、問題の条件に合わせて使います。確認問題で迷った箇所を読み直してから、対応ドリルへ進みましょう。