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高校2・3年生の全学年復習｜数学Ⅲ ドリル20問

取り組み方と配点

基本問題（第1〜10問・各5点）

第1問

\(f(x)=\sqrt{x-2}\)の定義域を求めなさい。

第2問

\(f(x)=2x-3\)の逆関数を求めなさい。

第3問

\(\lim_{n\to\infty}(3n+1)/(n-2)\)を求めなさい。

第4問

\(\lim_{x\to2}\(x^2-4\)/(x-2)\)を求めなさい。

第5問

無限等比級数\(3+1+1/3+\cdots\)の和を求めなさい。

第6問

\(y=e^{2x}\)を微分しなさい。

第7問

\(y=\log x\ (x>0)\)を微分しなさい。logは自然対数です。

第8問

\(y=\sin3x\)を微分しなさい。

第9問

\(\int e^{2x}\,dx\)を求めなさい。

第10問

\(\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx\)を求めなさい。

標準・応用問題（第11〜20問・各5点）

第11問

\(\lim_{x\to0}\sin3x/x\)を求めなさい。

第12問

\(\lim_{x\to0}(\sqrt{1+x}-1)/x\)を求めなさい。

第13問

\(f(x)=(e^x-1)/x\ (x\ne0),\ f(0)=a\)がx=0で連続になるaを求めなさい。

第14問

\(y=x\log x\ (x>0)\)の最小値とそのときのxを求めなさい。logは自然対数です。

第15問

\(y=x/(x+1)\ (x\ne-1)\)を微分しなさい。

第16問

\\(\int_0^1 2xe^{x^2}\,dx\\)を求めなさい。

第17問

\(\int_0^1 xe^x\,dx\)を求めなさい。

第18問

\(\int_1^e (\log x)/x\,dx\)を求めなさい。logは自然対数です。

第19問

0≦x≦πで曲線y=sin xとx軸に挟まれる面積を求めなさい。

第20問

0≦x≦1でy=√xとx軸に挟まれる領域をx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。

解答・解説

自分の解答を残してから確認してください。

第1問の解答

答え：\(x\ge2\)

根号の中x−2を0以上にします。

第2問の解答

答え：\(f^{-1}(x)=(x+3)/2\)

y=2x−3のx、yを交換しx=2y−3をyについて解きます。

第3問の解答

答え：3

分子と分母をnで割り、1/nと2/nが0に近づくことを使います。

第4問の解答

答え：4

x≠2で約分するとx+2です。xを2に近づけます。

第5問の解答

答え：\(9/2\)

初項3、公比1/3で絶対値が1未満。和は3/(1−1/3)=9/2です。

第6問の解答

答え：\(y'=2e^{2x}\)

合成関数の微分で内側の2xの導関数2を掛けます。

第7問の解答

答え：\(y'=1/x\)

自然対数の微分公式を使います。

第8問の解答

答え：\(y'=3\cos3x\)

内側3xの導関数3を掛けます。

第9問の解答

答え：\(e^{2x}/2+C\)

e²ˣを微分すると2倍されるため、係数1/2を付けます。

第10問の解答

答え：1

原始関数sin xのπ/2と0での値の差です。

第11問の解答

答え：3

3 sin(3x)/(3x)と直し、基本極限を用います。

第12問の解答

答え：\(1/2\)

分子分母に√(1+x)+1を掛けて1/(√(1+x)+1)に直します。

第13問の解答

答え：1

eˣのx=0での微分係数よりlim(x→0)(eˣ−1)/x=1です。極限値とf(0)を一致させます。

第14問の解答

答え：x=1/eで最小値−1/e

y'=log x+1はx=1/eを境に負から正へ変わります。代入すると(1/e)log(1/e)=−1/eです。

第15問の解答

答え：\(y'=1/(x+1)^2\)

商の微分で{(x+1)−x}/(x+1)²とします。

第16問の解答

答え：\(e-1\)

u=x²、du=2x dxと置くと範囲は0から1。∫₀¹eᵘdu=e−1です。

第17問の解答

答え：1

部分積分で[xeˣ]₀¹−∫₀¹eˣdx=e−(e−1)=1です。

第18問の解答

答え：\(1/2\)

u=log xと置くとdu=dx/x、範囲は0から1。∫₀¹u du=1/2です。

第19問の解答

答え：2

この区間ではsin x≧0なので∫₀^π sin x dx=[−cos x]₀^π=2です。

第20問の解答

答え：\(\pi/2\)

半径√xの断面積はπxです。π∫₀¹x dx=π/2となります。

復習記録

問題番号間違いの原因次に直す操作翌日の解き直し1週間後
記入欄知識・立式・計算・条件の確認具体的に記入○・△・×○・△・×

全問実施した場合は、80点以上なら総合演習や次の科目へ、60〜79点なら誤答した単元の例題へ戻り、59点以下なら基本問題を中心に復習します。この区分は学習の目安であり、入試の合否判定ではありません。