高校2・3年生の全学年復習｜数学Ⅱ 教材

要約

式と証明・複素数と方程式・図形と方程式・三角関数・指数対数・微分積分を、基本事項と例題で復習します。高校1〜3年の学習内容を科目別に整理したシリーズです。

恒等式では同じ次数の係数を比較します。二項定理では各項の選び方が係数になります。

(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{}_nC_k a^{n-k}b^k

例題：(x+2)³のx²の係数は₃C₁×2=6です。整式P(x)をx−aで割った余りはP(a)です。P(a)=0ならx−aを因数にもちます。

複素数ではi²=−1とし、分母の有理化と同じ考えで共役な複素数を使います。

\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-i}{2}

二次方程式ax²+bx+c=0の2解をα、βとすると、α+β=−b/a、αβ=c/aです。証明では左辺−右辺を平方の形にして非負を示す方法も有効です。

座標で条件を式に直します。中心(a,b)、半径rの円は次の式です。

\[ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \]

例題：中心(2,−1)、点(5,3)を通る円の半径は√(3²+4²)=5なので、(x−2)²+(y+1)²=25です。

点(x₀,y₀)と直線ax+by+c=0の距離は次の式です。

d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

軌跡では「条件を満たす点はその図形上にある」だけでなく、その図形上の点が元の条件を満たすかも確認します。領域では境界を含むかを不等号で区別します。

角度を弧度法で表すと180°=πです。単位円で符号と周期を確認します。以下の公式では角の単位をそろえます。

\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,\qquad \sin2x=2\sin x\cos x

例題：sin75°=sin(45°+30°)=(√6+√2)/4です。

0≦x<2πでsin x=1/2なら、単位円の第1象限と第2象限を調べてx=π/6、5π/6です。sin x+cos x=√2 sin(x+π/4)のように合成すると最大・最小も分かります。

指数法則は同じ底で使います。a>0、a≠1のとき、logₐMはaを何乗するとMになるかを表し、真数Mは正でなければなりません。

\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN,\qquad \log_aM=\frac{\log_bM}{\log_ba}

例題：log₂(x−1)=3なら、先にx>1を確認してx−1=8、x=9です。底が0と1の間なら関数は減少するため、指数・対数の不等式で向きが変わる点に注意します。

多項式の微分では(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹を使います。x=aにおける接線の傾きはf'(a)です。

\[ y=f'(a)(x-a)+f(a) \]

例題：f(x)=x³−3xならf'(x)=3(x−1)(x+1)。符号はx<−1で正、−1<x<1で負、x>1で正です。x=−1で極大値2、x=1で極小値−2となります。f'(x)=0というだけでは極値とは限らず、前後の符号変化を確認します。

不定積分は微分すると元に戻る関数を求める操作です。積分定数Cを付けます。定積分は原始関数の端点での値の差です。

\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n=0,1,2,\ldots)

例題：0≦x≦2でy=2xとy=x²に囲まれる面積は、上−下を積分して次のようになります。

\int_0^2(2x-x^2)\,dx=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac43

交点を求め、区間ごとに上下関係を確認します。符号付きの定積分と面積を混同しないようにします。

例題を隠して解き、理由や途中式も書きましょう。

\(x^3+x-1\)をx+1で割った余りを求めなさい。

\(\log_2(x+2)=2\)を解きなさい。

\\(\int_0^1 3x^2\,dx\\)を求めなさい。

答え：−3

x=−1を代入して−1−1−1=−3です。

答え：\(x=2\)

x>−2の下でx+2=4よりx=2です。

答え：1

原始関数x³の端点での差を取ります。

数学Ⅱでは、剰余の定理、座標での立式、三角方程式、対数の定義域、接線と面積を、問題の条件に合わせて使います。確認問題で迷った箇所を読み直してから、対応ドリルへ進みましょう。