高校2・3年生の全学年復習｜数学C 教材

要約

平面・空間ベクトル・二次曲線・媒介変数・極座標・複素数平面・数学的な表現の工夫を、基本事項と例題で復習します。高校1〜3年の学習内容を科目別に整理したシリーズです。

ベクトルは向きと大きさをもち、成分で足し算や実数倍を行います。内積は2つのベクトルの角度や垂直条件を調べる量です。

\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=a_1b_1+a_2b_2=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\theta

空間では第3成分の積も加えます。0でない2つのベクトルが垂直であることと内積が0であることは同値です。

例題：a=(1,2)、b=(2,−1)ならa・b=2−2=0なので垂直です。位置ベクトルa、bの2点をm:nに内分する点は(na+mb)/(m+n)です。係数の対応に注意します。

三角形の重心の位置ベクトルは(a+b+c)/3です。点PをAP=sAB+tACと表すと、図形の内部や辺上の条件もs、tで表せます。

標準形に直すと中心・軸・焦点が読み取れます。

y^2=4px\quad(p>0),\qquad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0)

前者は焦点(p,0)、準線x=−pの放物線です。後者は長軸がx軸の楕円で、焦点は(±√(a²−b²),0)です。双曲線x²/a²−y²/b²=1では、焦点は(±√(a²+b²),0)、漸近線はy=±(b/a)xです。

例題：x²/25+y²/9=1の焦点は(±4,0)です。楕円では平方の差、双曲線では平方の和になる点を区別します。

媒介変数表示x=2cos t、y=3sin tでは、cos²t+sin²t=1からx²/4+y²/9=1が得られます。0≦t<2πなら楕円全体を表します。

極座標はx=r cosθ、y=r sinθです。r=2cosθならr²=2r cosθよりx²+y²=2xとなり、中心(1,0)、半径1の円を表します。

z=x+iyを点(x,y)に対応させると、|z|は原点からの距離、|z−a|は点aからの距離です。

z=r(\cos\theta+i\sin\theta),\qquad z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)

絶対値1の複素数を掛けると原点の周りの回転になります。特にiを掛けると反時計回りに90°回転します。

例題：1+2iを90°回転するとi(1+2i)=−2+iです。点aの周りの回転なら、一度z−aと平行移動し、回転してからaを足します。

例題：|z−(2+i)|=3は、中心(2,1)、半径3の円です。複素数の式を距離に読み替えると軌跡が見えます。

表・行列・離散グラフなどを使うと、関係を見通しよく表現できます。ここでは行列を数表として読み、簡単な積を「行と列の対応する積の和」と定義して使います。

\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\cdot4+1\cdot5\\1\cdot4+3\cdot5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}13\\19\end{pmatrix}

例題：行を店舗A・B、列を商品X・Yの個数、右の列を各商品の価格とすれば、結果は店舗ごとの金額を表します。行・列が何を意味するかを必ず添えます。

離散グラフは地点などを頂点、つながりを辺で表します。隣接行列では、直接つながっていれば1、つながっていなければ0にします。行列の2乗の成分は、長さ2の移動の通り数を表せます。通り数と最短距離は別の量です。

例題を隠して解き、理由や途中式も書きましょう。

ベクトル(2,1)と(1,−2)は垂直ですか。

放物線\\(y^2=12x\\)の焦点と準線を求めなさい。

複素数2−iにiを掛けた結果を求めなさい。

答え：垂直である

どちらも0ベクトルでなく、内積2−2=0だからです。

答え：焦点(3,0)、準線x=−3

4p=12からp=3です。

答え：\(1+2i\)

i(2−i)=2i−i²=1+2iです。

数学Cでは、内積、位置ベクトル、二次曲線の特徴、複素数の回転、行列・グラフによる表現を、問題の条件に合わせて使います。確認問題で迷った箇所を読み直してから、対応ドリルへ進みましょう。