第16章平方根 | 中1から始める数学教材

要約

第16章・中3の先取り編。通常の配当学年は中学3年です。前提は「第1・15章：素因数分解・展開」。未習なら先にそこへ戻りましょう。

2乗すると a になる数が a の平方根です。正の数には正負2つの平方根があります。\sqrt{a} はそのうち0以上の方です。例えば9の平方根は±3ですが、\sqrt9=3 です。0の平方根は0だけです。

有限小数または循環小数で表せる数は分数にでき、有理数といいます。\sqrt2 のように分数にできない数は無理数です。

正の数の積・商では根号をまとめたり分けたりできます。平方数の因数を外に出します。

\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt3,\qquad 2\sqrt3+5\sqrt3=7\sqrt3

異なる根号の項は、簡単にして同じ根号にならなければまとめられません。\sqrt{a+b} を \sqrt a+\sqrt b に分けることはできません。

分母の根号をなくすことを有理化といい、分母と分子に同じ根号を掛けます。平方根の大きさは、近くの平方数と比べて調べます。

\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3},\qquad4<7<9\;\Rightarrow\;2<\sqrt7<3

\sqrt{18}+\sqrt8 を計算します。根号の中を平方数×残りに分けます。

\sqrt{18}+\sqrt8=3\sqrt2+2\sqrt2=\boxed{5\sqrt2}

18＋8を先に計算して \sqrt{26} とすることはできません。

正の数の平方根は2つですが、根号は0以上の値を表します。

解答を見る前に、ノートに途中式や理由を書きましょう。

25の平方根を答えなさい。

\sqrt{20} を簡単にしなさい。

2乗して25になる数は5と−5なので±5です。

\sqrt{4\times5}=2\sqrt5