第7章相似・円周角・三平方の定理｜中学全学年の復習教材

要約

中3で学ぶ「相似・円周角・三平方の定理」を復習します。基本の考え方を確認し、例題を読んでから別冊の20問に取り組みましょう。

対象は中学2・3年生です。中2の人は【中3】の内容を未習なら後回しにし、中3の人は中1・中2の内容から順に確認します。

形が同じで大きさが異なってもよい関係を相似といいます。対応する角は等しく、対応する辺の比は一定です。三角形の相似条件は「3組の辺の比」「2組の辺の比とその間の角」「2組の角」がそれぞれ等しいことです。

相似比が \(a:b\) なら、周の長さの比は \(a:b\)、面積比は \(a^{2}:b^{2}\)、相似な立体の体積比は \(a^3:b^3\) です。

△ABCの辺AB、AC上にそれぞれD、Eを取り、DE∥BCとすると、△ADE∽△ABCです。

\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}

分母を「残りの部分」と取り違えないようにします。D、Eがそれぞれの中点なら、DE∥BCかつ \(DE=\frac12BC\) です（中点連結定理）。

同じ弧に対する円周角は等しく、その弧に対する中心角の半分です。直径に対する円周角は90°になります。角の頂点が円周上なのか中心なのかを先に確認しましょう。

円周角の定理の逆も使えます。2点P、Qが直線ABの同じ側にあり、∠APB＝∠AQBなら、A、B、P、Qは同一円周上にあります。

直角を挟む2辺を \(a,b\)、斜辺を \(c\) とすると、

\[ a^2+b^2=c^2 \]

斜辺は直角の向かい側で最長の辺です。逆に、最長の辺についてこの等式が成り立てば直角三角形です。高さ・対角線・円の弦・空間の距離では、必要な直角三角形を切り出します。

△ABCでDがAB上、EがAC上、DE∥BCです。AD＝4cm、DB＝6cm、BC＝15cmなら、AB＝10cmなので、

\frac{DE}{15}=\frac4{10},\qquad \boxed{DE=6\text{ cm}}

直角三角形で斜辺13cm、他の1辺5cmなら、残りの辺を \(x\) cmとして \(x^{2}=13^2-5^2=144\)。長さは正なので \(x=12\) cmです。

辺の比と面積比・体積比を混同しないようにします。円周角では見込む弧、三平方の定理では直角と斜辺を先に特定しましょう。

式や図を自分で書き直してから例題と比べます。答えが合っていても、理由を説明できなかった箇所には印を付けましょう。

対応する長さの比から相似を使うことから始め、直角三角形を見つけて長さを求めることまで確かめましょう。確認問題が解けたら、ドリルで定着を確認します。