第2章平方根・展開・因数分解｜中学全学年の復習教材

要約

中3で学ぶ「平方根・展開・因数分解」を復習します。基本の考え方を確認し、例題を読んでから別冊の20問に取り組みましょう。

対象は中学2・3年生です。中2の人は【中3】の内容を未習なら後回しにし、中3の人は中1・中2の内容から順に確認します。

2乗して \(a\) になる数が \(a\) の平方根です。正の数には正負2つの平方根があります。\(\sqrt a\) はそのうち0以上の方だけを表します。

25\text{ の平方根は }\pm5,\qquad \sqrt{25}=5,\qquad \sqrt{u^2}=|u|

整数の比で表せる数が有理数、表せない実数が無理数です。\(\sqrt{16}\) は4なので有理数、\(\sqrt2\) は無理数です。

根号の中から平方数を取り出します。同じ根号の項だけをまとめられます。分母に根号があるときは、分母・分子に同じ数を掛けて有理化します。

\sqrt{45}=3\sqrt5,\qquad \frac{3}{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}

展開は積を和に直し、因数分解は和を積に直す操作です。最初に共通因数がないか確認します。

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2

(a+b)(a-b)=a^2-b^2,\quad (x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq

小数第1位を四捨五入して得た整数が \(k\) なら、正の測定値の真の値 \(t\) は \(k-0.5\le t<k+0.5\) にあります。有効数字は、測定などで意味のある数字です。\(3.20\times10^4\) は有効数字3桁を表します。

ここで、\(\sqrt{75}-\sqrt{12}\) は、そのまま75と12を引けません。

\sqrt{75}-\sqrt{12}=5\sqrt3-2\sqrt3=\boxed{3\sqrt3}

ここで、\(x^{2}-7x+10\) の因数分解では、積が10、和が \(-7\) となる2数 \(-5,-2\) を探します。

x^2-7x+10=\boxed{(x-5)(x-2)}

ここで、\(\sqrt{a+b}\) を \(\sqrt a+\sqrt b\) に分けることはできません。\((a+b)^2\) の中央の項 \(2a\,b\) と、平方根の正負を確認しましょう。

式や図を自分で書き直してから例題と比べます。答えが合っていても、理由を説明できなかった箇所には印を付けましょう。

平方根と根号の値を区別することから始め、近似値・有効数字と数の範囲を確認することまで確かめましょう。確認問題が解けたら、ドリルで定着を確認します。