第5章平面図形・作図・空間図形｜中学全学年の復習教材

要約

中1で学ぶ「平面図形・作図・空間図形」を復習します。基本の考え方を確認し、例題を読んでから別冊の20問に取り組みましょう。

対象は中学2・3年生です。中2の人は【中3】の内容を未習なら後回しにし、中3の人は中1・中2の内容から順に確認します。

平行移動では、全ての点を同じ向きに同じ距離だけ動かします。回転移動では、中心からの距離を保って同じ角度だけ回します。対称移動では、対応する2点を結ぶ線分が対称の軸によって垂直に二等分されます。いずれも長さ・角度・面積が保たれます。

垂直二等分線：線分ABの両端を中心に、同じ半径（ABの半分より大きい）で円弧をかきます。2つの交点を結ぶ直線が答えです。円弧の交点はA、Bから等距離にあることを使います。

角の二等分線：頂点Oを中心に円弧をかき、2辺との交点をA、Bとします。A、Bを中心に同じ半径で角の内側に円弧をかき、交点PとOを結びます。

直線上にない点Pからの垂線：Pを中心に円弧をかき、直線との交点をA、Bとします。ABの垂直二等分線をかくと、Pを通る垂線になります。

円全体に対する中心角の割合を、円周・円の面積にそれぞれ掛けます。

l=2\pi r\times\frac{\theta}{360},\qquad S=\pi r^2\times\frac{\theta}{360}

おうぎ形の周の長さは、弧だけでなく半径2本を含みます。

同じ平面上になく、交わりも平行でもない2直線は、ねじれの位置です。見取図は立体感、展開図は面のつながり、投影図は見る方向に注目します。

柱体の体積は底面積×高さ、錐体はその3分の1です。円柱の側面を開くと、横が底面の円周、縦が高さの長方形になります。円錐の側面はおうぎ形で、半径が母線、弧の長さが底面の円周です。

V_{\text{柱}}=Sh,\quad V_{\text{錐}}=\frac13Sh,\quad V_{\text{球}}=\frac43\pi r^3,\quad S_{\text{球}}=4\pi r^2

半径4cm、中心角90°のおうぎ形では、円全体の4分の1を使います。

l=2\pi\times4\times\frac14=2\pi\text{ cm},\qquad S=\pi\times4^2\times\frac14=4\pi\text{ cm}^2

半径3cm、高さ7cmの円柱なら体積は \(\pi\times3^2\times7=63\pi\) cm³です。同じ底面・高さの円錐なら \(21\pi\) cm³になります。

円錐の高さと母線は別の長さです。体積では高さ、側面積では母線を使います。表面積は底面も含め、cm²とcm³を使い分けます。

式や図を自分で書き直してから例題と比べます。答えが合っていても、理由を説明できなかった箇所には印を付けましょう。

移動や作図を図形の性質から説明することから始め、見取図・展開図から位置関係を読むことまで確かめましょう。確認問題が解けたら、ドリルで定着を確認します。