第4章比例・反比例・一次関数・二乗に比例する関数｜中学全学年の復習教材

要約

中1・中2・中3で学ぶ「比例・反比例・一次関数・二乗に比例する関数」を復習します。基本の考え方を確認し、例題を読んでから別冊の20問に取り組みましょう。

対象は中学2・3年生です。中2の人は【中3】の内容を未習なら後回しにし、中3の人は中1・中2の内容から順に確認します。

1. 基本知識と重要ポイント

中1：比例と反比例

ここで、\(x\) が決まると \(y\) がただ1つ決まるとき、\(y\) は \(x\) の関数です。比例は \(y=ax\)、反比例は \(y=\frac ax\) です。反比例では \(x\ne0\)。比例では \(\frac yx\)（\(x\ne0\)）、反比例では \(x\,y\) が一定です。

比例のグラフは原点を通る直線、反比例のグラフは2つに分かれた曲線です。点 \((x,y)\) は横に \(x\)、縦に \(y\) 進んだ位置に取ります。

中2：一次関数

y=ax+b,\qquad a=\frac{y\text{ の増加量}}{x\text{ の増加量}}

ここで、\(a\) は傾き、\(b\) は切片です。グラフをかくときは \((0,b)\) と、傾きから求めたもう1点を結びます。2直線の交点は、それぞれの式を同時に満たす点なので連立方程式で求めます。

中3：二乗に比例する関数

ここで、\(y=ax^{2}\) のグラフは原点を頂点とし、\(y\) 軸に対称な放物線です。\(a>0\) では上に開き、\(a<0\) では下に開きます。例えば \(y=x^{2}\) は、\((-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)\) を通ります。

変化の割合は一次関数と同じ割り算で求めますが、区間によって値が変わります。変域に0が含まれるときは、両端だけでなく \(x=0\) の値も調べます。

グラフを読む手順

横軸・縦軸の意味と単位を確認し、式から数点を求めてグラフをかきます。料金などの場面では、式を使える範囲や、数量が整数かどうかにも注意します。

2. 例題と解き方

2点 \((1,5),(4,11)\) を通る直線では、\(x\) が3増えると \(y\) は6増えます。

a=\frac{11-5}{4-1}=2,\quad 5=2\times1+b,\quad \boxed{y=2x+3}

ここで、\(y=x^{2}\) で \(-2\le x\le3\) のとき、最小値は \(x=0\) で0、最大値は \(x=3\) で9です。よって \(0\le y\le9\) となります。

3. よくある間違い

傾きは \(y/x\) とは限りません。2点間の増加量の比を取ります。二乗に比例する関数の変域では、範囲に0があるかを確認します。

4. 学び方のコツ

表・式・グラフを結び付ける。
変化の割合と変域を求める。
交点や料金の比較を方程式で考える。

式や図を自分で書き直してから例題と比べます。答えが合っていても、理由を説明できなかった箇所には印を付けましょう。

確認問題

【中1】\(y\) が \(x\) に反比例し、\(x=3\) のとき \(y=8\) です。式を求めなさい。
【中3】\(y=2x^{2}\) で、\(x\) が1から3に増加するときの変化の割合を求めなさい。

解答・解説

\(a=x\,y=24\) より \(\boxed{y=\frac{24}{x}}\)。
\(\frac{18-2}{3-1}=\boxed{8}\)。分母は \(x\) の増加量です。

まとめ

表・式・グラフを結び付けることから始め、交点や料金の比較を方程式で考えることまで確かめましょう。確認問題が解けたら、ドリルで定着を確認します。

第4章 比例・反比例・一次関数・二乗に比例する関数｜中学全学年の復習教材

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