第8章データの活用・確率・標本調査｜中学全学年の復習教材

要約

中1・中2・中3で学ぶ「データの活用・確率・標本調査」を復習します。基本の考え方を確認し、例題を読んでから別冊の20問に取り組みましょう。

対象は中学2・3年生です。中2の人は【中3】の内容を未習なら後回しにし、中3の人は中1・中2の内容から順に確認します。

平均値は合計÷個数、中央値は小さい順に並べた中央の値です。偶数個なら中央2個の平均を取ります。最頻値は最も多く現れる値、範囲は最大値−最小値です。これらの小学校の復習を土台に、分布を調べます。

度数は各階級の個数、相対度数は度数÷全体の個数、累積度数は下の階級からの度数の合計です。ヒストグラムでは横軸を階級、縦軸を度数にして、隣り合う柱の間を空けずに表します。この教材では階級の幅を等しくします。

多数回の実験では、ある結果の相対度数をその起こりやすさの目安にできます。ただし、次の1回の結果や回数を確定するものではありません。

データを小さい順に並べた中央値が第2四分位数です。下半分の中央値が第1四分位数 \(Q_1\)、上半分の中央値が第3四分位数 \(Q_3\) です。個数が奇数なら、中央の1個を除いて上下に分けます。

箱ひげ図は最小値・\(Q_1\)・中央値・\(Q_3\)・最大値を表します。四分位範囲は \(Q_3-Q_1\) で、中央付近の半分のデータの散らばりを比べる目安です。この教材のひげは最小値と最大値まで伸ばします。

同様に確からしい結果を、樹形図や表でもれなく重複なく数えます。

P=\frac{\text{条件に当てはまる場合の数}}{\text{全ての場合の数}}

2個のさいころでは、例えば \((1,2)\) と \((2,1)\) は区別します。玉を取り出す場合は、戻すか戻さないかで全体の場合の数が変わります。

調べたい集団全体が母集団、その一部が標本です。全員を調べる全数調査に対して、一部から全体の傾向を推定する方法が標本調査です。母集団全体から無作為に抽出し、偏りを小さくすることが大切です。推定値は実際の値と必ず一致するわけではありません。

データ \(2,4,5,7,8,10,12,16\) の中央値は \((7+8)/2=7.5\) です。下半分 \(2,4,5,7\) より \(Q_1=4.5\)、上半分 \(8,10,12,16\) より \(Q_3=11\)。四分位範囲は \(11-4.5=6.5\) です。

表裏が同様に確からしい硬貨を独立に2回投げると、表表・表裏・裏表・裏裏の4通りが同様に確からしく、ちょうど1回表の確率は \(2/4=1/2\) です。

中央値を求める前に必ず並べ替えます。確率の分母は同様に確からしい結果で数えます。標本調査の結果は推定であり、全体の正確な値とは限りません。

式や図を自分で書き直してから例題と比べます。答えが合っていても、理由を説明できなかった箇所には印を付けましょう。

度数・相対度数から分布を読むことから始め、同様に確からしい場合を数え、標本から全体を推定することまで確かめましょう。確認問題が解けたら、ドリルで定着を確認します。