第6章平行線・合同・三角形と四角形の証明｜中学全学年の復習教材

要約

中2で学ぶ「平行線・合同・三角形と四角形の証明」を復習します。基本の考え方を確認し、例題を読んでから別冊の20問に取り組みましょう。

対象は中学2・3年生です。中2の人は【中3】の内容を未習なら後回しにし、中3の人は中1・中2の内容から順に確認します。

対頂角は等しく、一直線上の隣り合う角の和は180°です。平行な2直線に1本の直線が交わるとき、同位角・錯角はそれぞれ等しくなります。逆に、同位角または錯角が等しければ2直線は平行です。

三角形の内角の和は180°、外角はそれと隣り合わない2つの内角の和です。\(n\) 角形の内角の和は \(180(n-2)\) 度、各頂点で同じ向きに取る外角の和は360°です。

次のいずれかを確認します。

3組の辺がそれぞれ等しい。
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。
直角三角形では「斜辺と他の1辺」「斜辺と1つの鋭角」も使えます。3組の角が等しいだけでは、大きさまで同じとはいえません。

二等辺三角形は底角が等しく、頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分します。平行四辺形は向かい合う辺・角が等しく、対角線が互いに二等分します。長方形は対角線の長さが等しく、ひし形は対角線が垂直に交わります。

平行四辺形と示すには、定義である2組の対辺の平行のほか、2組の対辺が等しい、2組の対角が等しい、対角線が互いに二等分する、1組の対辺が平行かつ等しい、という条件も使えます。

仮定は「分かっている条件」、結論は「示したいこと」です。比べる三角形を決め、等しい辺や角を理由とセットで3つ挙げ、合同条件を述べます。対応する頂点の順をそろえ、最後に結論を導きます。図がそう見えるだけでは根拠になりません。

ここで、\(AB=AC\) の二等辺三角形ABCで、DをBCの中点とします。Aを上、Bを左下、Cを右下にかき、AとDを結んで考えます。

△ABDと△ACDについて、AB＝AC（仮定）、BD＝CD（中点）、AD＝AD（共通）です。3組の辺がそれぞれ等しいので、△ABD≡△ACD。対応する角より∠BAD＝∠CADとなり、ADは頂角を二等分します。

等しいように見える角や辺も、仮定・共通・定理などの根拠が必要です。「2辺と1角」では、その角が2辺の間にあるかを確認します。

式や図を自分で書き直してから例題と比べます。答えが合っていても、理由を説明できなかった箇所には印を付けましょう。

角の性質を根拠付きで使うことから始め、仮定から結論まで証明を組み立てることまで確かめましょう。確認問題が解けたら、ドリルで定着を確認します。