第6章空間図形 | 中1から始める数学教材

要約

第6章・中1の本編。通常の配当学年は中学1年です。前提は「第5章：円とおうぎ形」。未習なら先にそこへ戻りましょう。

空間内の異なる2直線には、交わる・平行・ねじれの位置があります。ねじれの位置では、交わらず平行でもありません。同じ平面上にはない2直線です。直線が平面に垂直とは、交点を通るその平面上のどの直線にも垂直になることです。2平面は、平行でなければ直線で交わります。

柱体は底面の形を平行に動かしてできる立体です。円柱の側面を開くと長方形になり、横が底面の円周、縦が高さです。直角三角形を直角をはさむ1辺のまわりに1回転させると円錐になります。

底面積を S、高さを h とすると、柱体の体積は Sh、錐体の体積は \frac13Sh です。高さは底面までの垂直な距離です。表面積は外側の面積をすべて足します。

\text{円柱の表面積}=2\pi r^2+2\pi rh\\ \text{円錐の表面積}=\pi r^2+\pi rl\\ \text{球の表面積}=4\pi r^2,\qquad \text{球の体積}=\frac43\pi r^3

円錐の l は頂点から底面の円周までの斜めの長さ（母線）です。側面のおうぎ形は半径 l、弧の長さ 2\pi r です。

底面の半径3cm、高さ4cm、母線5cmの円錐では、

\text{体積}=\frac13\times9\pi\times4=12\pi\;\text{cm}^3\\ \text{表面積}=9\pi+\pi\times3\times5=24\pi\;\text{cm}^2

体積には高さ4cm、側面積には母線5cmを使います。

体積の高さと円錐の母線は異なります。単位の2乗・3乗も確認しましょう。

解答を見る前に、ノートに途中式や理由を書きましょう。

底面積12cm²、高さ5cmの角柱の体積を求めなさい。

半径2cmの球の表面積を求めなさい。

12×5＝60cm³です。

4\pi\times2^2=16\pi\;\text{cm}^2