第19章相似な図形 | 中1から始める数学教材

要約

第19章・中3の先取り編。通常の配当学年は中学3年です。前提は「第4・11・12章：比・合同・図形の性質」。未習なら先にそこへ戻りましょう。

一方を拡大・縮小すると他方に重なる図形を相似といいます。対応する角は等しく、対応する辺の比は一定です。△ABC∽△DEFなら、A↔D、B↔E、C↔Fの順を守ります。

三角形の相似条件は、3組の辺の比がすべて等しい、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい、2組の角がそれぞれ等しい、の3つです。

三角形ABCの辺AB上にD、辺AC上にEを取り、DE∥BCとすると、△ADE∽△ABCです。

AD:AB=AE:AC=DE:BC,\qquad AD:DB=AE:EC

D、EがそれぞれAB、ACの中点なら、DE∥BCで DE=\frac12BC。これが中点連結定理です。

相似比が m:n なら、面積比は m^2:n^2、相似な立体の体積比は m^3:n^3 です。長さ・面積・体積で同じ比を使わないようにします。

△ABCでDはAB上、EはAC上にあり、DE∥BCとします。AD＝4cm、AB＝10cm、BC＝15cmなら、

\frac{DE}{15}=\frac4{10}\quad\Rightarrow\quad DE=6\;\text{cm}

比べるのは小さい三角形の辺と大きい三角形の対応する辺です。

辺の比、面積比、体積比の違いを確認し、対応する頂点の順をそろえます。

解答を見る前に、ノートに途中式や理由を書きましょう。

相似比2:5の図形で、小さい方の辺が6cmです。対応する大きい方の辺を求めなさい。

相似比3:4の図形の面積比を求めなさい。

6×5÷2＝15cmです。

3²:4²＝9:16です。