第21章三平方の定理 | 中1から始める数学教材

要約

第21章・中3の先取り編。通常の配当学年は中学3年です。前提は「第6・16・17章：空間図形・平方根・二次方程式」。未習なら先にそこへ戻りましょう。

直角をはさむ2辺を a,b、斜辺を c とすると、

\[ a^2+b^2=c^2 \]

斜辺は直角の向かいにある最も長い辺です。求めたい辺がいつも右辺になるわけではありません。長さなので平方根の正の値を採用します。

3辺について、最も長い辺の2乗が残り2辺の2乗の和に等しければ直角三角形です。二等辺直角三角形の辺の比は 1:1:\sqrt2、30°・60°・90°の三角形では、それぞれの角の向かいの辺の比が 1:\sqrt3:2 です。

座標の2点では、横の差と縦の差を直角をはさむ辺と考えます。直方体の空間の対角線は、底面の対角線を求めてから高さと組み合わせます。垂線を引いて直角三角形を見つけるのが手掛かりです。

縦3cm、横4cm、高さ12cmの直方体の対角線を求めます。底面の対角線を d とすると d^2=3^2+4^2=25。空間の対角線を L とすると、

L^2=25+12^2=169\quad\Rightarrow\quad L=13\;\text{cm}

斜辺を確かめてから式を作り、長さには平方根の正の値を使います。

解答を見る前に、ノートに途中式や理由を書きましょう。

直角をはさむ2辺が6cm、8cmの直角三角形の斜辺を求めなさい。

斜辺13cm、他の1辺5cmの直角三角形の残りの辺を求めなさい。

斜辺の2乗は36＋64＝100なので10cmです。

残りの辺の2乗は169−25＝144なので12cmです。