第18章関数 y＝ax² | 中1から始める数学教材

要約

第18章・中3の先取り編。通常の配当学年は中学3年です。前提は「第4・10・17章：関数・二次方程式」。未習なら先にそこへ戻りましょう。

y=ax^2\quad(a\ne0)

グラフは放物線といい、原点を頂点として y 軸に対称です。a>0 なら上向き、a<0 なら下向きに開きます。x と -x で y は同じ値です。|a| が大きいほど同じ x で原点から縦に遠い位置を通ります。

一次関数と同様に「yの増加量÷xの増加量」で求めますが、区間によって値が変わります。係数 a そのものとは限りません。

区間に0が入るかどうかを確認します。正の係数で0をまたぐとき、最小値は0です。端の値だけを比較すると最小値を見落とします。

正方形の面積は1辺の長さの2乗に比例します。一方、段階的に上がる料金などは直線や放物線1本で表せません。関数かどうかと、比例・一次関数・二乗に比例する関数かどうかは別々に判断します。

y=2x^2 で -1\leqq x\leqq3 のとき、x=0 で最小値0、原点から最も遠い x=3 で最大値18です。

0\leqq y\leqq18

また、x が1から3まで増えるときの変化の割合は (18-2)÷(3-1)=8 で、係数2とは異なります。

変域を求めるときは、xの区間に0が含まれるかを先に確認しましょう。

解答を見る前に、ノートに途中式や理由を書きましょう。

y=ax^2 が点 (2,12) を通ります。a を求めなさい。

y=-x^2 で x=-4 のときの y を求めなさい。

12＝4aよりa＝3です。

y＝−(−4)²＝−16です。