第17章二次方程式 | 中1から始める数学教材

要約

第17章・中3の先取り編。通常の配当学年は中学3年です。前提は「第3・15・16章：一次方程式・因数分解・平方根」。未習なら先にそこへ戻りましょう。

整理すると ax^2+bx+c=0（a\ne0）になる方程式です。積が0なら、少なくとも一方が0という性質を使えます。

(x-2)(x+3)=0\quad\Rightarrow\quad x=2,-3

x^2=9 の解は±3です。x で割ってしまうと、x=0 という解を失うことがあるので注意します。

(x+p)^2=q なら、q\geqq0 のとき x+p=\pm\sqrt q。例えば x^2+4x-1=0 は両辺に5を加えると (x+2)^2=5 となり、x=-2\pm\sqrt5 です。このように平方の形を作る操作を平方完成といいます。

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

中学校で扱う実数の範囲では、根号内が負なら解はありません。0なら解は1つです。文章題では、長さが負になる解などを除きます。

縦が横より3cm長く、面積が40cm²の長方形を考えます。横を x cmとすると、

x(x+3)=40\\ x^2+3x-40=(x+8)(x-5)=0

解は−8と5ですが、長さは正なので横5cm、縦8cmです。

平方根を使う解法では±を忘れず、文章題では条件に合わない解を除きます。

解答を見る前に、ノートに途中式や理由を書きましょう。

解きなさい。

\[ x^2=16 \]

解きなさい。

\[ x^2-3x=0 \]

x=\pm4

x(x-3)=0\quad\Rightarrow\quad x=0,3