数学B｜統計的な推測ドリル第50回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

\(X\sim N(51,400)\)。\(P(-1\le Z\le1)=0.6826\)を使い、31≤X≤71の確率を求めなさい。

母平均51、母標準偏差20の母集団から、独立に25個抽出します。標本平均の期待値と標準偏差を求めなさい。

無作為な独立標本900人のうち450人が賛成でした。正規近似による母比率の95%信頼区間を求めなさい。臨界値1.96を使います。

標本サイズを4倍にすると、母標準偏差が同じ場合に標本平均の標準誤差は何倍になりますか。

同じ方法で標本16個から95%信頼区間を繰り返し作ります。「計算後の区間に、固定した母平均が95%の確率で入る」という解釈を訂正しなさい。

解答・解説

両端を標準化すると−1,1です。与えられた標準正規分布の確率をそのまま使います。

\boxed{0.6826}

標本平均の平均は母平均、標準偏差はsigma/√n。独立性により分散がsigma²/nになります。

\boxed{E(\overline X)=51,\quad\sigma_{\overline X}=4}

標本比率1/2、標準誤差√((1/2)(1/2)/n)=1/(20a)。1.96倍の幅を左右に取ります。

\boxed{[\frac12-\frac{49}{1500},\ \frac12+\frac{49}{1500}]}

標準誤差はsigma/√nなので、nをa²倍すると1/a倍です。

\boxed{\frac1{2}\text{倍}}

母平均は固定した未知の値、標本と区間が変動します。95%は区間を作る方法の長期的な被覆率を表します。

\boxed{\text{繰り返した区間の約95%が真の母平均を含む}}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____