数学B｜統計的な推測ドリル第31回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

公平なコインを4回投げ、表の回数Xを考えます。Xの確率分布の式と、X=1の確率を求めなさい。

\(X\sim B(6,\frac{3}{6})\)の期待値・分散・標準偏差を求めなさい。

\(X\sim N(51,225)\)。\(P(-1\le Z\le1)=0.6826\)を使い、36≤X≤66の確率を求めなさい。

母平均51、母標準偏差15の母集団から、独立に25個抽出します。標本平均の期待値と標準偏差を求めなさい。

無作為な独立標本900人のうち450人が賛成でした。正規近似による母比率の95%信頼区間を求めなさい。臨界値1.96を使います。

解答・解説

表になる位置をk個選ぶ組合せに、各並びの確率(1/2)^aを掛けます。

\boxed{P(X=k)=\binom{4}{k}2^{-4}\ (k=0,\ldots,4),\quad P(X=1)=\frac{1}{4}}

二項分布の平均np、分散np(1−p)を使い、標準偏差は分散の平方根です。

\boxed{E(X)=3,\quad V(X)=\frac{3}{2},\quad\sigma=\frac{\sqrt{6}}{2}}

両端を標準化すると−1,1です。与えられた標準正規分布の確率をそのまま使います。

\boxed{0.6826}

標本平均の平均は母平均、標準偏差はsigma/√n。独立性により分散がsigma²/nになります。

\boxed{E(\overline X)=51,\quad\sigma_{\overline X}=3}

標本比率1/2、標準誤差√((1/2)(1/2)/n)=1/(20a)。1.96倍の幅を左右に取ります。

\boxed{[\frac12-\frac{49}{1500},\ \frac12+\frac{49}{1500}]}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____