数学B｜統計的な推測ドリル第27回（定着練習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

\(X\sim B(10,\frac{8}{10})\)の期待値・分散・標準偏差を求めなさい。

\(X\sim N(51,400)\)で、X=71に対応する標準化得点Zを求めなさい。第2引数は分散です。

\(X\sim N(51,400)\)。\(P(-1\le Z\le1)=0.6826\)を使い、31≤X≤71の確率を求めなさい。

全校生徒800人の睡眠時間を調べるため、20人を無作為に選びます。母集団、標本、標本サイズを答えなさい。

母平均51、母標準偏差20の母集団から、独立に100個抽出します。標本平均の期待値と標準偏差を求めなさい。

解答・解説

二項分布の平均np、分散np(1−p)を使い、標準偏差は分散の平方根です。

\boxed{E(X)=8,\quad V(X)=\frac{8}{5},\quad\sigma=\frac{2\sqrt{10}}{5}}

Z=(X−平均)/標準偏差。第2引数の平方根sigmaで割ります。

\boxed{Z=1}

両端を標準化すると−1,1です。与えられた標準正規分布の確率をそのまま使います。

\boxed{0.6826}

推測したい全体が母集団、実際に調べる一部が標本です。標本サイズは標本に含まれる人数です。

\boxed{\text{母集団：全校生徒、標本：選ばれた生徒、サイズ}=20}

標本平均の平均は母平均、標準偏差はsigma/√n。独立性により分散がsigma²/nになります。

\boxed{E(\overline X)=51,\quad\sigma_{\overline X}=2}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____