数学B｜統計的な推測ドリル第25回（定着練習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

全校生徒700人の睡眠時間を調べるため、20人を無作為に選びます。母集団、標本、標本サイズを答えなさい。

母平均51、母標準偏差18の母集団から、独立に81個抽出します。標本平均の期待値と標準偏差を求めなさい。

正規母集団から独立に81個を抽出し、標本平均51、既知の母標準偏差9でした。95%信頼区間を求めなさい。標準正規分布の臨界値1.96を使います。

無作為な独立標本4900人のうち2450人が賛成でした。正規近似による母比率の95%信頼区間を求めなさい。臨界値1.96を使います。

母平均の帰無仮説μ=51を、既知の母標準偏差9、独立標本サイズ81、標本平均54で検定します。5%両側検定の棄却域は|Z|>1.96です。結論を述べなさい。

解答・解説

推測したい全体が母集団、実際に調べる一部が標本です。標本サイズは標本に含まれる人数です。

\boxed{\text{母集団：全校生徒、標本：選ばれた生徒、サイズ}=20}

標本平均の平均は母平均、標準偏差はsigma/√n。独立性により分散がsigma²/nになります。

\boxed{E(\overline X)=51,\quad\sigma_{\overline X}=2}

標準誤差は9/√81=1。標本平均±1.96×標準誤差を計算します。

\boxed{[\frac{1226}{25},\ \frac{1324}{25}]}

標本比率1/2、標準誤差√((1/2)(1/2)/n)=1/(20a)。1.96倍の幅を左右に取ります。

\boxed{[\frac12-\frac{7}{500},\ \frac12+\frac{7}{500}]}

Z=(54−51)/(9/√81)=3。3>1.96なので棄却します。対立仮説はμ≠51です。

\boxed{Z=3,\quad\text{帰無仮説を棄却する}}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____