数学A｜数学と人間の活動（整数の性質） ドリル第45回（総合復習）
注意事項
各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。
問題
問題1｜ゲームと不変量
石が9個あります。1回の操作で3個取り除きます。最後に0個にできるか、3で割った余りを使って判断しなさい。
問題2｜約数と倍数
24と30の最大公約数と最小公倍数を求めなさい。
問題3｜ユークリッドの互除法
36と16の最大公約数を、互除法で求めなさい。
問題4｜1次不定方程式
\(4x+5y=21\)の整数解をすべて求めなさい。
問題5｜記数法：位取り
\((133)_9\)を10進法で表しなさい。
解答・解説
解答1｜ゲームと不変量
3個ずつ減らしても3で割った余りは変わりません。最初の余りは0で、これが0のときに限り0個まで減らせます。
\[
\boxed{\text{できる}}
\]
解答2｜約数と倍数
bとb+1は互いに素なので最大公約数はa。最小公倍数は2数の積÷最大公約数です。
\[
\boxed{\gcd=6,\quad\operatorname{lcm}=120}
\]
解答3｜ユークリッドの互除法
36=2×16+4、16=4×4+0。最後の0でない余りは4です。
\[
\boxed{4}
\]
解答4｜1次不定方程式
隣り合う係数は互いに素です。特解を引くとa(x−x₀)=−(a+1)(y−y₀)になり、双方の倍数条件から一般解を得ます。
\[
\boxed{x=4+5t,\quad y=1-4t\quad(t\in\mathbb Z)}
\]
解答5｜記数法：位取り
9²+3×9+3と展開します。各桁は0〜8なので9進法の数字として有効です。
\[
\boxed{111}
\]
復習記録
得点：____ / 50点 解き直す問題：____ 次回までに確認する公式・条件：____