数学A｜数学と人間の活動（整数の性質）ドリル第33回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

石が14個あります。1回の操作で3個取り除きます。最後に0個にできるか、3で割った余りを使って判断しなさい。

24と32の最大公約数と最小公倍数を求めなさい。

42と18の最大公約数を、互除法で求めなさい。

\(6x+7y=25\)の整数解をすべて求めなさい。

\((125)_9\)を10進法で表しなさい。

解答・解説

3個ずつ減らしても3で割った余りは変わりません。最初の余りは2で、これが0のときに限り0個まで減らせます。

\boxed{\text{できない}}

bとb+1は互いに素なので最大公約数はa。最小公倍数は2数の積÷最大公約数です。

\boxed{\gcd=8,\quad\operatorname{lcm}=96}

42=2×18+6、18=3×6+0。最後の0でない余りは6です。

\boxed{6}

隣り合う係数は互いに素です。特解を引くとa(x−x₀)=−(a+1)(y−y₀)になり、双方の倍数条件から一般解を得ます。

\boxed{x=3+7t,\quad y=1-6t\quad(t\in\mathbb Z)}

9²+2×9+5と展開します。各桁は0〜8なので9進法の数字として有効です。

\boxed{104}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____