数学A｜数学と人間の活動（整数の性質） ドリル第31回（総合復習）
注意事項
各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。
問題
問題1｜約数と倍数
21と28の最大公約数と最小公倍数を求めなさい。
問題2｜ユークリッドの互除法
35と15の最大公約数を、互除法で求めなさい。
問題3｜1次不定方程式
\(5x+6y=21\)の整数解をすべて求めなさい。
問題4｜記数法：位取り
\((124)_9\)を10進法で表しなさい。
問題5｜整数の性質の証明
任意の整数nで\(n(n+1)+8\)が偶数であることを証明しなさい。
解答・解説
解答1｜約数と倍数
bとb+1は互いに素なので最大公約数はa。最小公倍数は2数の積÷最大公約数です。
\[
\boxed{\gcd=7,\quad\operatorname{lcm}=84}
\]
解答2｜ユークリッドの互除法
35=2×15+5、15=3×5+0。最後の0でない余りは5です。
\[
\boxed{5}
\]
解答3｜1次不定方程式
隣り合う係数は互いに素です。特解を引くとa(x−x₀)=−(a+1)(y−y₀)になり、双方の倍数条件から一般解を得ます。
\[
\boxed{x=3+6t,\quad y=1-5t\quad(t\in\mathbb Z)}
\]
解答4｜記数法：位取り
9²+2×9+4と展開します。各桁は0〜8なので9進法の数字として有効です。
\[
\boxed{103}
\]
解答5｜整数の性質の証明
連続する2整数の一方は偶数なので積は偶数。加える2aも偶数で、和も偶数です。
\[
\boxed{\text{偶数}}
\]
復習記録
得点：____ / 50点 解き直す問題：____ 次回までに確認する公式・条件：____