数学A｜数学と人間の活動（整数の性質） ドリル第29回（定着練習）
注意事項
各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。
問題
問題1｜ユークリッドの互除法
28と12の最大公約数を、互除法で求めなさい。
問題2｜整数の除法
13を4で割った商と余りを求めなさい。余りは0以上4未満とします。
問題3｜1次不定方程式
\(4x+5y=17\)の整数解をすべて求めなさい。
問題4｜記数法：2進法
10進数35を2進法で表しなさい。
問題5｜記数法：位取り
\((123)_9\)を10進法で表しなさい。
解答・解説
解答1｜ユークリッドの互除法
28=2×12+4、12=3×4+0。最後の0でない余りは4です。
\[
\boxed{4}
\]
解答2｜整数の除法
N=aq+r、0≤r<aを満たすように、cがa以上の場合も商へ繰り入れます。
\[
\boxed{q=3,\quad r=1}
\]
解答3｜1次不定方程式
隣り合う係数は互いに素です。特解を引くとa(x−x₀)=−(a+1)(y−y₀)になり、双方の倍数条件から一般解を得ます。
\[
\boxed{x=3+5t,\quad y=1-4t\quad(t\in\mathbb Z)}
\]
解答4｜記数法：2進法
2で繰り返し割った余りを逆順に並べます。各桁が2の累乗を表すことでも確認できます。
\[
\boxed{(100011)_2}
\]
解答5｜記数法：位取り
9²+2×9+3と展開します。各桁は0〜8なので9進法の数字として有効です。
\[
\boxed{102}
\]
復習記録
得点：____ / 50点 解き直す問題：____ 次回までに確認する公式・条件：____