数学A｜数学と人間の活動（整数の性質）ドリル第28回（定着練習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

任意の整数nで\(n(n+1)+4\)が偶数であることを証明しなさい。

格子上で原点から右へ2、上へ2進み、その後左へ1進みます。終点の座標と原点からの距離を求めなさい。

石が8個あります。1回の操作で3個取り除きます。最後に0個にできるか、3で割った余りを使って判断しなさい。

15と20の最大公約数と最小公倍数を求めなさい。

864を素因数分解し、正の約数の個数を求めなさい。

解答・解説

連続する2整数の一方は偶数なので積は偶数。加える2aも偶数で、和も偶数です。

\boxed{\text{偶数}}

横移動を符号付きで足し、縦座標と組にします。距離は三平方の定理です。

\boxed{(1,2),\quad\sqrt{5}}

3個ずつ減らしても3で割った余りは変わりません。最初の余りは2で、これが0のときに限り0個まで減らせます。

\boxed{\text{できない}}

bとb+1は互いに素なので最大公約数はa。最小公倍数は2数の積÷最大公約数です。

\boxed{\gcd=5,\quad\operatorname{lcm}=60}

約数は2の指数を0〜5、3の指数を0〜3から選ぶので(a+1)(b+1)個です。

\boxed{2^{5}\cdot3^{3},\quad24\text{個}}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____