数学A｜数学と人間の活動（整数の性質） ドリル第07回（基礎確認）
注意事項
各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。
問題
問題1｜約数と倍数
7と14の最大公約数と最小公倍数を求めなさい。
問題2｜素因数分解
384を素因数分解し、正の約数の個数を求めなさい。
問題3｜ユークリッドの互除法
21と7の最大公約数を、互除法で求めなさい。
問題4｜整数の除法
8を7で割った商と余りを求めなさい。余りは0以上7未満とします。
問題5｜1次不定方程式
\(7x+8y=15\)の整数解をすべて求めなさい。
解答・解説
解答1｜約数と倍数
bとb+1は互いに素なので最大公約数はa。最小公倍数は2数の積÷最大公約数です。
\[
\boxed{\gcd=7,\quad\operatorname{lcm}=14}
\]
解答2｜素因数分解
約数は2の指数を0〜7、3の指数を0〜1から選ぶので(a+1)(b+1)個です。
\[
\boxed{2^{7}\cdot3^{1},\quad16\text{個}}
\]
解答3｜ユークリッドの互除法
21=2×7+7、7=1×7+0。最後の0でない余りは7です。
\[
\boxed{7}
\]
解答4｜整数の除法
N=aq+r、0≤r<aを満たすように、cがa以上の場合も商へ繰り入れます。
\[
\boxed{q=1,\quad r=1}
\]
解答5｜1次不定方程式
隣り合う係数は互いに素です。特解を引くとa(x−x₀)=−(a+1)(y−y₀)になり、双方の倍数条件から一般解を得ます。
\[
\boxed{x=1+8t,\quad y=1-7t\quad(t\in\mathbb Z)}
\]
復習記録
得点：____ / 50点 解き直す問題：____ 次回までに確認する公式・条件：____