J 受験ヒーロー

数式の形を見抜く問題 練習問題集

10問・15問・20問から選び、ノートや印刷した用紙で練習しましょう。

全20問

日付：＿＿年＿＿月＿＿日　名前：＿＿＿＿＿＿＿＿

問題

問1

\[ x=3^2+4^2 \]

のとき、次の値を求めなさい。

\[ \sqrt{2x-1} \]

問2

\[ x=10^2+11^2 \]

のとき、次の値を求めなさい。

\[ \sqrt{2x-1} \]

問3

\[ x=2025^2+2026^2 \]

のとき、次の値を求めなさい。

\[ \sqrt{2x-1} \]

問4

\(n\) は正の整数とする。次の値を \(n\) を用いて表しなさい。

\[ \sqrt{2\{n^2+(n+1)^2\}-1} \]

問5

\(a,b\) は実数で、\(a+b>0\)、\(\lvert a-b\rvert=1\) を満たすとする。次の値を \(a,b\) を用いて表しなさい。

\[ \sqrt{2(a^2+b^2)-1} \]

問6

\((3x+3)^2-(3x-3)^2\)を簡単にしなさい。

問7

\((4x+4)^2-(4x-4)^2\)を簡単にしなさい。

問8

\((5x+5)^2-(5x-5)^2\)を簡単にしなさい。

問9

\((6x+2)^2-(6x-2)^2\)を簡単にしなさい。

問10

\((7x+3)^2-(7x-3)^2\)を簡単にしなさい。

問11

\((8x+4)^2-(8x-4)^2\)を簡単にしなさい。

問12

\((9x+5)^2-(9x-5)^2\)を簡単にしなさい。

問13

\((10x+2)^2-(10x-2)^2\)を簡単にしなさい。

問14

\((11x+3)^2-(11x-3)^2\)を簡単にしなさい。

問15

\((12x+4)^2-(12x-4)^2\)を簡単にしなさい。

問16

\((13x+5)^2-(13x-5)^2\)を簡単にしなさい。

問17

\((14x+2)^2-(14x-2)^2\)を簡単にしなさい。

問18

\((15x+3)^2-(15x-3)^2\)を簡単にしなさい。

問19

\((16x+4)^2-(16x-4)^2\)を簡単にしなさい。

問20

\((17x+5)^2-(17x-5)^2\)を簡単にしなさい。

解答・解説を見る

解答・解説

問1

\(4-3=1\) なので、

\[ \begin{aligned} 2x-1 &=2(3^2+4^2)-1\\ &=(3+4)^2+(4-3)^2-1\\ &=7^2 \end{aligned} \]

したがって、

\[ \sqrt{2x-1}=\sqrt{7^2}=\boxed{7} \]

元のドリル

問2

\(11-10=1\) である。恒等式

\[ 2(a^2+b^2)=(a+b)^2+(a-b)^2 \]

を \(a=10,\ b=11\) に使うと、

\[ 2x-1=(10+11)^2+(11-10)^2-1=21^2 \]

となる。よって、

\[ \sqrt{2x-1}=\sqrt{21^2}=\boxed{21} \]

元のドリル

問3

\(a=2025,\ b=2026\) とおくと、\(b-a=1\) である。また、

\[ 2(a^2+b^2)=(a+b)^2+(a-b)^2 \]

だから、

\[ \begin{aligned} 2x-1 &=(a+b)^2+(a-b)^2-1\\ &=(a+b)^2+1^2-1\\ &=(a+b)^2 \end{aligned} \]

となる。\(a+b=4051\) より、

\[ \sqrt{2x-1}=\sqrt{4051^2}=\boxed{4051} \]

元のドリル

問4

恒等式

\[ 2(a^2+b^2)=(a+b)^2+(a-b)^2 \]

に \(a=n,\ b=n+1\) を代入する。

\[ \begin{aligned} 2\{n^2+(n+1)^2\}-1 &=(2n+1)^2+\{n-(n+1)\}^2-1\\ &=(2n+1)^2+1-1\\ &=(2n+1)^2 \end{aligned} \]

\(n\) は正の整数なので \(2n+1>0\)。したがって、

\[ \boxed{2n+1} \]

である。

元のドリル

問5

恒等式

\[ 2(a^2+b^2)=(a+b)^2+(a-b)^2 \]

を使う。条件 \(\lvert a-b\rvert=1\) より \((a-b)^2=1\) だから、

\[ 2(a^2+b^2)-1=(a+b)^2 \]

となる。さらに \(a+b>0\) なので、

\[ \sqrt{2(a^2+b^2)-1} =\sqrt{(a+b)^2}=|a+b|=\boxed{a+b} \]

である。

元のドリル

問6

平方の差を使うと、和の2×3xと差の2×3を掛けて36xです。

\[ \boxed{36x} \]

問7

平方の差を使うと、和の2×4xと差の2×4を掛けて64xです。

\[ \boxed{64x} \]

問8

平方の差を使うと、和の2×5xと差の2×5を掛けて100xです。

\[ \boxed{100x} \]

問9

平方の差を使うと、和の2×6xと差の2×2を掛けて48xです。

\[ \boxed{48x} \]

問10

平方の差を使うと、和の2×7xと差の2×3を掛けて84xです。

\[ \boxed{84x} \]

問11

平方の差を使うと、和の2×8xと差の2×4を掛けて128xです。

\[ \boxed{128x} \]

問12

平方の差を使うと、和の2×9xと差の2×5を掛けて180xです。

\[ \boxed{180x} \]

問13

平方の差を使うと、和の2×10xと差の2×2を掛けて80xです。

\[ \boxed{80x} \]

問14

平方の差を使うと、和の2×11xと差の2×3を掛けて132xです。

\[ \boxed{132x} \]

問15

平方の差を使うと、和の2×12xと差の2×4を掛けて192xです。

\[ \boxed{192x} \]

問16

平方の差を使うと、和の2×13xと差の2×5を掛けて260xです。

\[ \boxed{260x} \]

問17

平方の差を使うと、和の2×14xと差の2×2を掛けて112xです。

\[ \boxed{112x} \]

問18

平方の差を使うと、和の2×15xと差の2×3を掛けて180xです。

\[ \boxed{180x} \]

問19

平方の差を使うと、和の2×16xと差の2×4を掛けて256xです。

\[ \boxed{256x} \]

問20

平方の差を使うと、和の2×17xと差の2×5を掛けて340xです。

\[ \boxed{340x} \]

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