連続する整数と完全平方 | ドリル
問題
\(n\) は正の整数とする。次の値を \(n\) を用いて表しなさい。
\[
\sqrt{2\{n^2+(n+1)^2\}-1}
\]
解答
恒等式
\[
2(a^2+b^2)=(a+b)^2+(a-b)^2
\]
に \(a=n,\ b=n+1\) を代入する。
\[
\begin{aligned} 2\{n^2+(n+1)^2\}-1 &=(2n+1)^2+\{n-(n+1)\}^2-1\\ &=(2n+1)^2+1-1\\ &=(2n+1)^2 \end{aligned}
\]
\(n\) は正の整数なので \(2n+1>0\)。したがって、
\[
\boxed{2n+1}
\]
である。