横浜国立大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第076回
この回のテストポイント
- 第1問：空間の垂線と四面体
- 第2問：委員選出と余事象の数え上げ
- 第3問：二次関数の頂点・解・不等式
- 第4問：対数の真数条件と単調性
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 空間の垂線と四面体（25点）
空間で
を考える。
（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（7点）
（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（7点）
（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（11点）
第2問 委員選出と余事象の数え上げ（25点）
男子27人、女子27人から、区別のない委員3人を選ぶ。
（1）すべての選び方の数を求めなさい。（7点）
（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（7点）
（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（11点）
第3問 二次関数の頂点・解・不等式（25点）
実数全体で \(f(x)=x^2-54x+702\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（7点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（7点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（11点）
第4問 対数の真数条件と単調性（25点）
\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-27)\) を考える。
（1）定義域を求めなさい。（7点）
（2）\(F(x)=\log_2 1458\) を解きなさい。（7点）
（3）\(F(x)\le\log_2 1458\) を解きなさい。（11点）
解答・解説
第1問 空間の垂線と四面体
（1）
平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=162\)。距離は \(7s\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
底面OABの面積は \(729\)、Cからこの底面までの高さは \(81\) なので体積は \(19683\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 委員選出と余事象の数え上げ
（1）
全員から3人を選ぶ組合せを用いる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-27)^2-27\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\((x-27)^2=27\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 対数の真数条件と単調性
（1）
2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
積の対数にまとめると \(x(x-27)=1458\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。