東京大学 前期・理科 数学記述模試 第100回
この回のテストポイント
- 第1問：対数方程式の存在条件
- 第2問：等周条件と三角形の面積
- 第3問：標本平均と片側検定・必要標本数
- 第4問：絶対値を含む面積の最適化
- 第5問：三角関数の積分漸化式
- 第6問：双曲線の接線と不変な面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学II（全範囲）／数学III（全範囲）／数学A（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
時間・配点・範囲は2027年度の公式選抜要項を確認しています（確認日：2026-10-03）。大問数と記述形式は公開試験（2026年度）を参考にした演習設計です。小問配点は本模試の採点基準です。
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問題
第1問 対数方程式の存在条件（20点）
\(\log_2 x+\log_2(28-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。
（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（6点）
（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（6点）
（3）\(a=\log_2 147\) のとき、すべての解を求めなさい。（8点）
第2問 等周条件と三角形の面積（20点）
周の長さが \(168\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。
（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（6点）
（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（6点）
（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（8点）
第3問 標本平均と片側検定・必要標本数（20点）
ある母集団の母標準偏差は \(28\) で既知とする。独立な \(3136\) 個の標本の平均は \(\bar x=51\) だった。帰無仮説 \(\mu=50\)、対立仮説 \(\mu>50\) を有意水準5%で検定する。標本平均は正規分布で近似でき、標準正規分布の上側5%点は1.645、両側95%区間には1.96を使う。
（1）標本平均の標準偏差と標準化した検定統計量を求めなさい。（6点）
（2）検定の結論を、対立仮説の向きと有意水準を含めて説明しなさい。（6点）
（3）母平均の95%信頼区間の半幅を0.5以下にする最小の標本数を求めなさい。（8点）
第4問 絶対値を含む面積の最適化（20点）
\(0\le a\le28\) とする。\(0\le x\le28\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。
（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（6点）
（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（6点）
（3）面積の最小値を求めなさい。（8点）
第5問 三角関数の積分漸化式（20点）
とする。\(n\) は0以上の整数である。
（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（6点）
（2）\(I_{56}\) を求めなさい。（6点）
（3）\(I_{57}\) を求めなさい。（8点）
第6問 双曲線の接線と不変な面積（20点）
第1象限の双曲線 \\(xy=784\\) 上の点 \(P(t,784/t)\)、\(t>0\) を考える。
（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（6点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（6点）
（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 対数方程式の存在条件
（1）
真数条件は \(0<x<28\)。\(x(28-x)=784/4-(x-28/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,784/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(x(28-x)=147\) を解く。2つの解の和は \(28\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第2問 等周条件と三角形の面積
（1）
\(b=168-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=84(84-a)^2(2a-84)\)。微分すると \((S^2)'=504(84-a)(56-a)\)。存在範囲で \(a=56\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
半周長は \(84\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=84r\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第3問 標本平均と片側検定・必要標本数
（1）
標本平均の標準偏差は
。\(Z=(51-50)/(1/2)=2\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
対立仮説は平均が大きいという片側。統計量2は上側5%点1.645を超えるため帰無仮説を棄却する。5%水準で母平均が50より大きいと判断する。帰無仮説が誤りである確率が95%という意味ではない。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
半幅は \(1.96\sigma/\sqrt n\)。\(1.96\cdot28/\sqrt n\le0.5\) を解くと \(n\ge(3.92\cdot28)^2\)。標本数は整数なので切り上げる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第4問 絶対値を含む面積の最適化
（1）
差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le28\) では曲線が上。
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(S'(a)=a^2-392\)。定義域内で \(a=28/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第5問 三角関数の積分漸化式
（1）
\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(28\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(I_1=1\) から漸化式を \(28\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 双曲線の接線と不変な面積
（1）
\(y=784/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-784/t=-784(x-t)/t^2\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(2t\) と \(1568/t\)。その積が \(3136\) で一定なので、面積も一定となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
相加相乗平均より \(2t+1568/t\ge112\)。等号は \(t=28\) のとき。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。