J 受験ヒーロー

東京大学 前期・理科 数学記述模試 第099回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学II（全範囲）／数学III（全範囲）／数学A（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

時間・配点・範囲は2027年度の公式選抜要項を確認しています（確認日：2026-10-03）。大問数と記述形式は公開試験（2026年度）を参考にした演習設計です。小問配点は本模試の採点基準です。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　三角関数を二次関数に置き換える（20点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+28\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（6点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（6点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=28\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（8点）

第2問　空間の垂線と四面体（20点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(28,0,0),B(0,56,0),C(0,0,84) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（6点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（6点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（8点）

第3問　完全順列の漸化式と固定点（20点）

\(28\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（6点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（6点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（8点）

第4問　重解を使う三次曲線の面積（20点）

曲線 \(y=f(x)=x^3-2352x\) の \(x=28\) における接線をlとする。

（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（6点）

（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（6点）

（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（8点）

第5問　対数の評価と部分積分（20点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le28\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（6点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（6点）

（3）

\[ \int_1^{28}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（8点）

第6問　楕円の接線と切片・回転体（20点）

楕円

\[ \frac{x^2}{3136}+\frac{y^2}{784}=1 \]

の第1象限の点 \(P(56\cos t,28\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（6点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（6点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=28+t-56t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

平方完成より

\[ f=28+\frac1{224}-56(t-\frac1{112})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=28\)、\(f(1)=-27\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{6273}{224}\ (\sin\theta=\frac1{112}),\quad\min f=-27\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(t-56t^2=0\) の解は0と \(1/56\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{56}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第2問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=168} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=168\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{144}{7},\frac{72}{7},\frac{48}{7}),\quad OH=24} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底面OABの面積は \(784\)、Cからこの底面までの高さは \(84\) なので体積は \(21952\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{2744} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第3問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると

\[ D_{28}=112162153835443422680893595673 \]

。全割当ては \(28!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{461572649528573755888451011}{1254684545727217532928000000}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/28\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第4問　重解を使う三次曲線の面積

（1）

\(f'(28)=0\) なので \(l:y=-43904\)。差は \((x-28)^2(x+56)\)。接点の横座標は2重の根となる。

\[ \boxed{(-56,-43904),\quad(28,-43904)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

区間 \([-56,28]\) では差は非負。

\[ S=\int_{-56}^{28}(x^3-2352x+43904)\,dx \]

。原始関数は \\(x^4/4-1176x^2+43904x\\)。

\[ \boxed{4148928} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

非負の横座標の部分は

\[ \int_0^{28}(f(x)+43904)\,dx=460992 \]

。全体の面積で割る。

\[ \boxed{\frac19} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第5問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<28\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log28+1}{28}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{56}+\frac{y\sin t}{28}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(56/\cos t\)、\(28/\sin t\)。面積は \(784/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=1568,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(784\(1-x^2/3136\)\)。\(-56\le x\le56\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{\frac{175616}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。