東京大学 前期・理科 数学記述模試 第007回
この回のテストポイント
- 第1問：定義域のある二次関数とパラメータ
- 第2問：円の弦と三角形の面積の最大化
- 第3問：抽出方法と条件付き確率
- 第4問：逆数で線形化し差を足す
- 第5問：対数の評価と部分積分
- 第6問：楕円の接線と切片・回転体
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学II（全範囲）／数学III（全範囲）／数学A（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
時間・配点・範囲は2027年度の公式選抜要項を確認しています（確認日：2026-10-03）。大問数と記述形式は公開試験（2026年度）を参考にした演習設計です。小問配点は本模試の採点基準です。
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問題
第1問 定義域のある二次関数とパラメータ（20点）
\(0\le x\le 28\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+196\) とする。\(t\) は実数である。
（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（6点）
（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（6点）
（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（8点）
第2問 円の弦と三角形の面積の最大化（20点）
円 \\(x^2+y^2=196\\) の内部の点 \(Q(7,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（6点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（6点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（8点）
第3問 抽出方法と条件付き確率（20点）
袋に赤玉 \(14\) 個、青玉 \(28\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。
（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（6点）
（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（6点）
（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（8点）
第4問 逆数で線形化し差を足す（20点）
で数列を定める。
（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（6点）
（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（6点）
（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（8点）
第5問 対数の評価と部分積分（20点）
自然対数を用いる。\(1\le x\le14\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。
（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（6点）
（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（6点）
（3）
を求めなさい。（8点）
第6問 楕円の接線と切片・回転体（20点）
楕円
の第1象限の点 \(P(28\cos t,14\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。
（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（6点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（6点）
（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 定義域のある二次関数とパラメータ
（1）
平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+196-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-14\le t\le 14\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
判別式より \(t>14\) または \(t<-14\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>14\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(28)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(980-56t\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第2問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=7\) を円の式に代入する。\\(y^2=147\\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
直線は \(mx-y-7m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{196m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{196-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le14/2\)。面積の2乗は \(d^2(196-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(196-s)\) は \(0\le s\le196/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第3問 抽出方法と条件付き確率
（1）
最初の赤の確率は1/3、2個目は \((14-1)/(42-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{28(28-1)}{42(42-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(14-1)<70-1\) を用いる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第4問 逆数で線形化し差を足す
（1）
初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
漸化式から
。和をとると中間の項が消える。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第5問 対数の評価と部分積分
（1）
\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<14\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 楕円の接線と切片・回転体
（1）
楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(28/\cos t\)、\(14/\sin t\)。面積は \(196/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
切り口の半径の2乗は \(196\(1-x^2/784\)\)。\(-28\le x\le28\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。