東京大学 前期・文科 数学記述模試 第091回
この回のテストポイント
- 第1問：三次方程式の実数解の個数
- 第2問：放物線の接線と囲まれた面積
- 第3問：完全順列の漸化式と固定点
- 第4問：重解を使う三次曲線の面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学II（全範囲）／数学A（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
時間・配点・範囲は2027年度の公式選抜要項を確認しています（確認日：2026-10-03）。大問数と記述形式は公開試験（2026年度）を参考にした演習設計です。小問配点は本模試の採点基準です。
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問題
第1問 三次方程式の実数解の個数（20点）
実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-2523x=a\) を考える。
（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（6点）
（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（6点）
（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（8点）
第2問 放物線の接線と囲まれた面積（20点）
放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-841)\) を考える。
（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（6点）
（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（6点）
（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（8点）
第3問 完全順列の漸化式と固定点（20点）
\(29\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。
（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（6点）
（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（6点）
（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（8点）
第4問 重解を使う三次曲線の面積（20点）
曲線 \(y=f(x)=x^3-2523x\) の \(x=29\) における接線をlとする。
（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（6点）
（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（6点）
（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 三次方程式の実数解の個数
（1）
\(f'(x)=3(x-29)(x+29)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-29\) で極大、\(x=29\) で極小となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(a=48778\) では \(f(x)-a=(x-58)(x+29)^2\)。\(a=-48778\) では \(f(x)-a=(x+58)(x-29)^2\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第2問 放物線の接線と囲まれた面積
（1）
接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=841\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
接点は \((\pm29,841)\)。底辺の長さは \(58\)、Pから底辺までの高さは \(1682\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-29)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{29}(x-29)^2\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第3問 完全順列の漸化式と固定点
（1）
1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
初期値から前問の漸化式を順に計算すると
。全割当ては \(29!\) 通り。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/29\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第4問 重解を使う三次曲線の面積
（1）
\(f'(29)=0\) なので \(l:y=-48778\)。差は \((x-29)^2(x+58)\)。接点の横座標は2重の根となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
区間 \([-58,29]\) では差は非負。
。原始関数は
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
非負の横座標の部分は
。全体の面積で割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。