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東京大学 前期・文科 数学記述模試 第090回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学II（全範囲）／数学A（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

時間・配点・範囲は2027年度の公式選抜要項を確認しています（確認日：2026-10-03）。大問数と記述形式は公開試験（2026年度）を参考にした演習設計です。小問配点は本模試の採点基準です。

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問題

第1問　対数方程式の存在条件（20点）

\(\log_2 x+\log_2(27-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（6点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（6点）

（3）\(a=\log_2 \frac{2187}{16}\) のとき、すべての解を求めなさい。（8点）

第2問　等周条件と三角形の面積（20点）

周の長さが \(162\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（6点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（6点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（8点）

第3問　停止する試行と期待値の連立（20点）

表の確率が \(1/27\)、裏の確率が \(26/27\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。

（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（6点）

（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（6点）

（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（8点）

第4問　逆数で線形化し差を足す（20点）

\[ a_1=1/27,\ a_{n+1}=a_n/(1+a_n) \]

で数列を定める。

（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（6点）

（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（6点）

（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<27\)。\(x(27-x)=729/4-(x-27/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,729/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<27,\quad a\le\log_2 \frac{729}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 \frac{729}{4}:2\text{個};\quad a=\log_2 \frac{729}{4}:1\text{個};\quad a>\log_2 \frac{729}{4}:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(x(27-x)=\frac{2187}{16}\) を解く。2つの解の和は \(27\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=\frac{27}{4},\ \frac{81}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第2問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=162-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=162-2a,\quad \frac{81}{2}<a<81} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=81(81-a)^2(2a-81)\)。微分すると \((S^2)'=486(81-a)(54-a)\)。存在範囲で \(a=54\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=54,\quad S_{\max}=729\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

半周長は \(81\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=81r\)。

\[ \boxed{r=9\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第3問　停止する試行と期待値の連立

（1）

2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。

\[ \boxed{P(T=2)=\frac{1}{729},\quad P(T=3)=\frac{26}{19683}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(p=1/27,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。

\[ \boxed{756} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

1回の表までの平均は \(27\) 回なので合計2回の表までの平均は \(54\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。

\[ \boxed{E_{\text{合計2回}}=54,\quad\text{差}=702} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第4問　逆数で線形化し差を足す

（1）

初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+26}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

漸化式から

\[ a_j-a_{j+1}=a_j^2/(1+a_j)=a_ja_{j+1} \]

。和をとると中間の項が消える。

\[ \boxed{\frac1{27}-\frac1{n+27}=\frac{n}{27(n+27)}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。

\[ \boxed{\frac{n+27}{27}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。