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東京大学 前期・文科 数学記述模試 第042回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学II（全範囲）／数学A（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

時間・配点・範囲は2027年度の公式選抜要項を確認しています（確認日：2026-10-03）。大問数と記述形式は公開試験（2026年度）を参考にした演習設計です。小問配点は本模試の採点基準です。

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問題

第1問　定義域のある二次関数とパラメータ（20点）

\(0\le x\le 22\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+121\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（6点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（6点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（8点）

第2問　円の弦と三角形の面積の最大化（20点）

円 \\(x^2+y^2=121\\) の内部の点 \(Q(\frac{11}{2},0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。

（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（6点）

（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（6点）

（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（8点）

第3問　停止する試行と期待値の連立（20点）

表の確率が \(1/11\)、裏の確率が \(10/11\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。

（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（6点）

（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（6点）

（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（8点）

第4問　絶対値を含む面積の最適化（20点）

\(0\le a\le11\) とする。\(0\le x\le11\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（6点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（6点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+121-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}121&t\le0\\121-t^2&0<t<22\\605-44t&t\ge22\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-11\le t\le 11\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le11} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

判別式より \(t>11\) または \(t<-11\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>11\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(22)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(605-44t\)。

\[ \boxed{11<t\le \frac{55}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第2問　円の弦と三角形の面積の最大化

（1）

\(x=\frac{11}{2}\) を円の式に代入する。\\(y^2=\frac{363}{4}\\)。

\[ \boxed{(\frac{11}{2},\pm \frac{11}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

直線は \(mx-y-\frac{11}{2}m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{121m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{121-d^2}\)。

\[ \boxed{AB=11\sqrt{\frac{4+3m^2}{1+m^2}}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

直線がQを通るので \(0\le d\le11/2\)。面積の2乗は \(d^2(121-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(121-s)\) は \(0\le s\le121/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。

\[ \boxed{\max S=\frac{121}{4}\sqrt{3},\quad x=\frac{11}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第3問　停止する試行と期待値の連立

（1）

2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。

\[ \boxed{P(T=2)=\frac{1}{121},\quad P(T=3)=\frac{10}{1331}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(p=1/11,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。

\[ \boxed{132} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

1回の表までの平均は \(11\) 回なので合計2回の表までの平均は \(22\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。

\[ \boxed{E_{\text{合計2回}}=22,\quad\text{差}=110} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第4問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le11\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{11}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-\frac{121}{2}a+\frac{1331}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(S'(a)=a^2-\frac{121}{2}\)。定義域内で \(a=11/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=\frac{11}{2}\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{1331}{6}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。