東京理科大学 B方式・理工系 数学記述模試 第025回
この回のテストポイント
- 第1問：円の弦と三角形の面積の最大化
- 第2問：三角関数の積分漸化式
- 第3問：集合の包含と人数の計算
- 第4問：固定点を引く漸化式と重み付きの和
- 第5問：1の累乗根と積・距離の和
- 第6問：三次方程式の実数解の個数
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 円の弦と三角形の面積の最大化（17点）
円 \\(x^2+y^2=784\\) の内部の点 \(Q(14,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（5点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（5点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（7点）
第2問 三角関数の積分漸化式（17点）
とする。\(n\) は0以上の整数である。
（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）
（2）\(I_{56}\) を求めなさい。（5点）
（3）\(I_{57}\) を求めなさい。（7点）
第3問 集合の包含と人数の計算（17点）
140人のクラスで、集合Aの人数は84人、集合Bは56人、両方に属する人数は28人とする。
（1）少なくとも一方に属する人数を求めなさい。（5点）
（2）どちらにも属さない人数を求めなさい。（5点）
（3）一方だけに属する人数を求めなさい。（7点）
第4問 固定点を引く漸化式と重み付きの和（17点）
\(a_1=28,\ a_{n+1}=2a_n+28\) で定まる数列を考える。
（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）
（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（7点）
第5問 1の累乗根と積・距離の和（16点）
方程式 \(z^28=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{27}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（4点）
（2）\(\sum_{j=0}^{27}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（4点）
（3）\(\prod_{j=1}^{27}(1-z_j)\) を求めなさい。（8点）
第6問 三次方程式の実数解の個数（16点）
実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-2352x=a\) を考える。
（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（4点）
（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（4点）
（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=14\) を円の式に代入する。\\(y^2=588\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
直線は \(mx-y-14m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{784m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{784-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le28/2\)。面積の2乗は \(d^2(784-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(784-s)\) は \(0\le s\le784/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 三角関数の積分漸化式
（1）
\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(28\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(I_1=1\) から漸化式を \(28\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 集合の包含と人数の計算
（1）
AとBの人数の和では共通部分を2回数えるため1回分引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
全体から和集合の人数を引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
和集合から共通部分を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 固定点を引く漸化式と重み付きの和
（1）
\(a_{n+1}+28=2(a_n+28)\) なので \(a_n+28=56\cdot2^{n-1}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(a_j/2^j=28(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(28\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{27}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{27}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 三次方程式の実数解の個数
（1）
\(f'(x)=3(x-28)(x+28)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-28\) で極大、\(x=28\) で極小となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(a=43904\) では \(f(x)-a=(x-56)(x+28)^2\)。\(a=-43904\) では \(f(x)-a=(x+56)(x-28)^2\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。