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東京理科大学 B方式・理工系 数学記述模試 第024回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　内積・角度とベクトルの射影（17点）

\[ \mathbf a=(28,1),\ \mathbf b=(1,28) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（5点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（5点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（7点）

第2問　回転軸を変える体積計算（17点）

\(0\le x\le28\) で曲線 \(y=x(28-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（5点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）

第3問　反復試行と条件付き確率（17点）

公平な硬貨を28回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）

第4問　絶対値を含む面積の最適化（17点）

\(0\le a\le28\) とする。\(0\le x\le28\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（5点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（5点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（7点）

第5問　双曲線の接線と不変な面積（16点）

第1象限の双曲線 \\(xy=784\\) 上の点 \(P(t,784/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（4点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（4点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（8点）

第6問　三角関数を二次関数に置き換える（16点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+28\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（4点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（4点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=28\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=56,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{785}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{56}{785}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=785t^2-112t+785 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{613089}{785},\quad t=\frac{56}{785}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{28}x(28-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{10976}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切り口は半径 \(x(28-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{28}x^2(28-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{8605184}{15}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(0\le y\le784/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(28\pm\sqrt{784-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=28\pi\sqrt{784-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{307328}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(28\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{189}{134217728}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{268435455}{268435456}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{126}{89478485}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le28\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{28}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-392a+\frac{21952}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(S'(a)=a^2-392\)。定義域内で \(a=28/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=14\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{10976}{3}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=784/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-784/t=-784(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{784}=2,\quad(2t,0),(0,1568/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切片は \(2t\) と \(1568/t\)。その積が \(3136\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{1568} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+1568/t\ge112\)。等号は \(t=28\) のとき。

\[ \boxed{\min=112,\quad P=(28,28)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=28+t-56t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

平方完成より

\[ f=28+\frac1{224}-56(t-\frac1{112})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=28\)、\(f(1)=-27\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{6273}{224}\ (\sin\theta=\frac1{112}),\quad\min f=-27\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(t-56t^2=0\) の解は0と \(1/56\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{56}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。