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東京農工大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第055回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三角関数の積分漸化式（17点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）

（2）\(I_{38}\) を求めなさい。（5点）

（3）\(I_{39}\) を求めなさい。（7点）

第2問　三次関数の増減・接線・定積分（17点）

\(f(x)=x^3-57x^2\) とする。

（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）

（2）\(x=19\) における接線を求めなさい。（5点）

（3）\(\int_0^{57} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）

第3問　1の累乗根と積・距離の和（17点）

方程式 \(z^19=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{18}\) とし、\(z_0=1\) とする。

（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）

（2）\(\sum_{j=0}^{18}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）

（3）\(\prod_{j=1}^{18}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）

第4問　データの変換と分散（17点）

5個のデータは \(17,18,19,20,21\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。

（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（5点）

（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（5点）

（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（7点）

第5問　合同な2円の交点と共通弦（16点）

中心O(0,0)、A(19,0)、半径がともに19の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（4点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（4点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（8点）

第6問　内積・角度とベクトルの射影（16点）

\[ \mathbf a=(19,1),\ \mathbf b=(1,19) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（4点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（4点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(19\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{4418157975}{68719476736}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(19\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{34359738368}{172308161025}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　三次関数の増減・接線・定積分

（1）

\(f\prime(x)=3x(x-38)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=38で極小。

\[ \boxed{\text{極大値 }0,\quad\text{極小値 }-27436} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

傾きは \(-1083\)、接点のy座標は \(-13718\)。点傾きの式で接線を求める。

\[ \boxed{y=-1083x+6859} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。

\[ \boxed{-\frac{3518667}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　1の累乗根と積・距離の和

（1）

単位円を \(19\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{18}\) の係数から解の和が0と分かる。

\[ \boxed{z_j=\cos\frac{2\pi j}{19}+i\sin\frac{2\pi j}{19},\quad\sum z_j=0} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|z_j|=1\) なので

\[ |z_j-1|^2=2-2\operatorname{Re}z_j \]

。前問の和を使う。

\[ \boxed{38} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ z^19-1=(z-1)\prod_{j=1}^{18}(z-z_j) \]

。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{18}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。

\[ \boxed{19} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　データの変換と分散

（1）

平均は中央の \(19\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。

\[ \boxed{\bar x=19,\quad V_x=2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。

\[ \boxed{\bar y=41,\quad V_y=8} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。

\[ \boxed{r=1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{19}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(\frac{19}{2},\frac{19}{2}\sqrt{3}),\quad Q=(\frac{19}{2},-\frac{19}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{19\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{\frac{361}{4}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=38,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{362}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{19}{181}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=362t^2-76t+362 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{64800}{181},\quad t=\frac{19}{181}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。